CHAPITRE PREMIER
CiRÀCTEKES DES FONCTIONS SYNEGTIQUES D^UNE VARIABLE COMPLEXE.
i090. Supposons que la quantité complexe r^ = 2 varie, c^està-dire, en langage géométrique, que le point z se déplace dans le plan. Lorsque ce point passe de la position z à la position z^y la difTérence z^ — z représente, en grandeur et en direction, la distance de ces deux positions.
A une valeur infiniment petite de Taccroissement z^ — z correspondront des valeurs infiniment petites [71] des accroissements du module r et de Targument p, ainsi que des composantes rectangulaires x, y. Ces diverses grandeurs varieront donc d'une manière continue, lorsque le point z subira un déplacement continu dans le plan.
Nous appellerons Taccroissement infiniment petit z^ — z la différentielle de la variable z, et nous le représenterons par dz.
Toutes les règles de la difTérentiation des quantités réelles, qui ne dépendent que des règles de Taddition et de la soustraction,
a40 LIVRE VI. — CHAP. I, § I.
subsisteront encore pour les quantités complexes, où i joue le tôle d*une constante. On aura ainsi
dzz=zd[x-i-iy).-dx'^idX=zd,r^P=^rt^P ("""*" '^^)'
Le module de la quantité complexe dz a pour valeur infiniment petite
p = yjdx^ H- d[r« =r ^dt^-^i^dp^.
Son argument
? = arctang-^
a une valeur quelconque, dépendante de la direction suivant laquelle se déplace le point z.
Si le point z décrit une courbe continue, p sera Télément d^arc de cette courbe [611 ] et f Tangle de la tangente avec l'axe des x.
i091. Le chemin décrit par z^ dans le cas où Tangle f varie d^une manière continue, est la limite d'un polygone infinitésimal qui a pour côtés les accroissements dz successifs. La distance des deux positions extrêmes de z est égale à la limite de la somme, en grartdeur et en direction, des côtés de ce polygone. Nous représenterons par le signe d'intégration cette limite de somme d'éléments infiniment petits.
D'après cela, la droite qui joint les deux positions extrêmes zq et Z du point mobile aura pour expression
Cette valeur est indépendante de la forme du chemin suivi par le point z pour aller de Zq à Z.
1092. Imaginons maintenant qu'en chaque point du plan, correspondant à une valeur de la variable complexe z, on place une valeur complexe (v, variant d'un point z à l'autre, suivant une loi déterminée. L'ensemble de ces valeurs (v, dont le plan est ainsi chargé, constitue ce qu'on appelle, dans le sens le plus général du mot, une Jonction de la variable complexe z.
Si à un accroissement infiniment petit quelconque dz de z [173]
PONCTIONS UNIFORMES. 24l
correspond toujours un accroissement infiniment petit dw de la fonction çv, cette fonction sera dite continue.
Si chaque point z ne porte qu^une seule valeur de la fonction çv, cette fonction sera dite uniforme. Si chaque point z porte plusieurs valeurs de Wy celte fonction sera dite multiforme.
Les fonctions analytiques [156], définies pour les quantités réelles, puis étendues, conformément au principe de la permanence des règles du calcul [8], aux quantités complexes, sont des fonctions les unes uniformes, les autres multiformes.
1093. La valeur d^une fonction analytique de z dépend uniquement de la position du point z sur le plan, et non du système de coordonnées employé pour fixer cette position. Elle ne changera pas, soit que l'on mette la quantité complexe z sous la forme re'P, soit qu'on la mette sous la forme x -+- ij^ lors même que les symboles xe\,y représenteraient eux-mêmes des quantités complexes, pourvu que x 4- ij fût identiquement égal à r[cosp -f- i s'inp). Le passage de Tun des modes de représentation à l'autre correspondrait à une simple transformation algébrique, qui se ferait suivant les règles établies.
Soit «' = F(x,:r)
ce que devient l'expression de la fonction analytique (v, lorsqu'on y remplace z par x-h iy^ x et y étant des variables indépendantes, réelles ou complexes. Cette fonction devra rester constante toutes les fois que z =x-j-iy restera constant. Si donc on élimine x=z — ij^f il faudra que F[z — iy^j) reste constante en même temps que z^ quel que soity^; donc cette fonction devra être indépendante àey, et sa dérivée partielle par rapport à j-,
ox ojr
de\Ta s'annuler identiquement, dès qu'on y remplacera x par z — iy, c'est-à-dire par une valeur quelconque. Donc toute fonction %v= F (a:,j^), provenant d'une opération analytique exécutée sur le binôme x 4- ijj devra satisfaire à l'équation aux dérivées partielles
' ' UJC ôv
H. — Cours de Cale, iiifin,, 111. l6
^i^ LIVMB TI. — CHAP. I, g I.
1094. On peut encore établir cette condition comme il soit. Supposons que F(x, ^) soit une fonction o[z) = 9(xH- ij^) de la variable complexe z =x -+-«y. Les variables x et y étant supposées indépendantes, on aura, en ne faisant varier qu^une seule d'entre elles à la fois,
dF n \àz . ,
d'où, en éliminant c{''(z), on tire la condition nécessaire
dF .àF Ôj: dy
Réciproquement, si cette condition est identiquement vérifiée,
on aura
, ^ àF , , ^ àF ^ . dF ,
d'où l'on conclut, pour la valeur de la différentielle totale de la
fonction F,
dF dF
dF[x,y]=.-^^[dx-^idy]=-^i^^[dx-^idy].
dF dF Or, %- et -r- ne pouvant être l'une et l'autre identiquement nulles,
si F ne se réduit pas à une constante, la condition nécessaire et suffisante pour que dYi^Xj y") reste nulle, ou pour que F(a:, j^ ne varie pas, c'est que x 4- «y ne varie pas. F(x, j^), étant donc constante ou variable suivant que x-^-iy sera constante ou variable, ne dépendra que de x H- iy^ et sera par suite de la forme ? (^ -h «j^O* On peut en fin remarquer que l'équation aux dérivées partielles (i) est un cas particulier de celle dont nous avons traité au n^ 1062, et dans laquelle il suffit de faire a = i pour en conclure
= rt-^ -+-'»•
Ainsi l'équation (i) exprime que la fonction w dépend, non de x ou de y isolément, mais de la combinaison X'\'iy de ces deux variables.
GARACTBRE DES FONCTIONS MONOGÈNES. 243
109o. L'équation ( i ) exprime en même temps la condition nécessaire et suflisante pour que la fonction w= F(a:, j^) jouisse de la propriété fondamentale d* avoir une dérwée par rapport à
la variable z=X'\- ij, c'est-à-dire pour que le rapport *;
tende vers une limite déterminée, indépendamment du rapport des accroissements dx^ dy^ c'est-à-dire indépendamment de l'argument de dz [1090].
En eflety en réduisant les différentielles à leurs parties principales, et remplaçant -r- par sa valeur -7 ->-» tirée de la condition (i),
il vient
dY ^ dY ^ \ àY . ^ ...
dY[.,y] ^Tx^-^T/^ JiTr^'^^'^'^^^ ^x àY ^dY
£/(x -+- iy) tlx -+- idy d.r. -\- idjr i dy àx
Donc le rapport
dYix^y] dw ^^ ' ou —
d[x -\' iy) dz
tend vers la limite déterminée
dx * dy
toutes les fois que w satisfait à la condition (i).
d%v 'di
Réciproquement, pour que — ait une limite déterminée, il faut
que le rapport
dY ' ÔY dr
dYix^r) dx âr dx
dx
dy . ,
soit indépendant de -7-9 ce qui exige que l'on ait
dx
dY dY
c'est-à-dire la condition (i).
C'est grâce à cette propriété qu'il est permis d'appliquer aux fonctions analytiques de variables complexes les règles de la dif-
244 LIVRE YI. — CHAP. 1, § I.
férentiation et def Tintégration indéfinie, établies pour les fonctions de variables réelles.
1096. Cette propriété n'appartient pas à toute espèce de quantité variable continue qui serait déterminée d'une manière quelconque par la position du point z. Par exemple, z étant connu, on connaît ses composantes rectangulaires, c'est-à-dire les variables réelles x, y. D'après ce mode de détermination , toute fonction F (a:, y) des deux variables indépendantes réelles j:,j^ aurait toutes ses valeurs définies par les valeurs correspondantes de z^ et pourrait, à ce point de vue, être considérée comme une fonction de z.
Mais il faut observer que, dans cette détermination, on emploie une opération qui ne peut avoir son analogue dans le calcul des fonctions de variables réelles, savoir, la décomposition de la quantité complexe z en ses deux composantes, l'une réelle, l'autre imaginaire pure, et le partage, qui s'ensuit, d'une équation en deux autres. On n'est donc pas en droit d'appliquer à une telle fonction les règles établies pour les fonctions de quantités réelles. Le calcul de telles fonctions exigerait des règles spéciales, qui ne comprendraient pas comme cas particuliers les règles relatives aux fonctions de variables réelles, et qui présenteraient à l'égard de celles-ci des différences analogues aux différences que présentent les règles de l'analyse des nombres entiers dans la Théorie des nombres. Dès lors, sans parler des complications qu'elle pourrait offrir, l'analyse des quantités complexes n'atteindrait plus son but principal, d'éclairer, en la généralisant, l'analyse des quantités réelles.
On voit déjà, par ce qui a été dit au numéro précédent, qu'une fonction ¥[x^y)j qui ne satisfait pas à la condition (i), ne peut être traitée comme une fonction de la seule variable Zy lorsqu'il s'agit de lui appliquer les règles du Calcul différentiel.
Par exemple, les fonctions
sont bien déterminées pour chaque point z ; mais, en faisant
dit*
on trouvera, pour les limites de — relatives à ces fonctions, les
