CARACTERE DES FONCTIONS MONOGENES

expressions

p cosy

/• psiny .

•tf^"?, • 2rcos[/? —

qui dépendent toutes de l'argument f de dz,

1097. Une fonction qui satisfait à Téquation (i) et qui, par suite, jouit de la propriété d'avoir une dérivée indépendante de la direction suivant laquelle on a donné à z l'accroissement infiniment petit dzj est dite une fonction monogène de z.

L'existence d'une dérivée supposant nécessairement la contir nui té de la fonction primitive, toute fonction monogène sera aussi continue, sauf pour certaines valeurs singulières de la variable.

Les fonctions monogènes satisfaisant seules à la loi de la permanence des règles du calcul et pouvant seules, par conséquent, être employées pour la généralisation des calculs relatifs aux fonctions d'une variable réelle, ce seront les seules que nous considérerons dans tout ce qui va suivre. Nous pourrons, à cause de cela, nous dispenser de répéter chaque fois le mot monogène, et, quand nous parlerons à! nue fonction de la variable complexe z, il sera bien entendu que c'est d'une fonction monogène qu'il s'agira.

Une fonction continue qui est à la fois uniforme et monogène s'appelle une fonction synectique,

1098. Supposons la fonction w décomposée en ses composantes rectangulaires, de sorte que l'on ait, u eX, \f étant réels,

L'équation (i) deviendra alors

v.- . ( du dv\

du dv . l du ôv

et se partagera ainsi dans les deux suivantes :

, , du dv du dv

^ ' dx of djr dr

a46 LIVRE VI. — CHAP. I, § I.

Ces dernières équations expriment les relations auxquelles doivent satisfaire deux fonctions réelles m, u des variables indépendantes Xf y^ pour qu'on puisse les considérer comme les composantes rectangulaires d'une fonction monogène du binôme

X'\- iy.

1099. Si Ton dilTérentie les équations (2) successivement par rapport à j: et à j^, on en tire, par addition et soustraction,

ce qui montre que chacune des fonctions Uy i^, de même aussi que la fonction (v = u + iV, est assujettie à satisfaire à Téquation aux dérivées partielles du second ordre

Nous avons vu [1044] que l'intégrale générale de cette équation est

fonction qui est la somme de deux fonctions monogènes, mais qui n'est elle-même monogène que lorsqu'une des deux fonctions cp ou y^ s'annule.

1 100. Si, au lieu de mettre la variable z sous la forme x -f- ijTj on l'emploie sous la forme re^P, on obtiendra, par des calculs analogues aux précédents, la condition pour qu'une fonction w =n(r, p) des variables indépendantes r, p ne dépende que de la combinaison re'P de ces variables. En substituant à r sa valeur ze~'^, il vient

qui ne doit plus dépendre de p. Si l'on égale à zéro la dérivée de cette expression par rapport à p, on obtiendra, pour la condition de monogénéité de cette fonction,

^ ' or dp

On serait arrivé au même résultat soit en éliminant par diflféren-

dation la fonction ^ de la relation w= <f[reP*')y soit en opérant dans l'équation (i) un changement de variables , soit enfin en cherchant directement la condition pour que le rapport

tw

tende vers une limite déterminée, indépendante de la direction de dz.

Si Ton met la fonction w sous la forme Ke^^, R et P étant réels, l'équation (i)* se partagera dans les deux suivantes :

ÔK ^â? àR ^ dP

or dp dp dr

1101. En supposant les conditions (2) remplies, posons

^ au dp du dv

^ dx oy oy dx

d'où

et par suite

rf«. = [X -+- /Y) [dx H- idy) = (X -+- iY]tlz.

Donc la dérivée totale de w par rapport à ^ a pour expression

(^) -di = Tx^l-d} = ^'^'^'

1102. La dérivée — > donnée par la formule (4)> est, aussi bien

que Wf une fonction monogène de z. On a, en effet, d'après les équations (3),

dX d^p dY dX d^u ÔY dx dxdy ây dy dxdy ôx

ce qui donne pour la fonction X + iY Tanalogue des conditions (a).

Il en est de même, d'après les équations (4), pour les dérivées

dtv dw partielles ^- et ^ •

Donc, si w est une fonction monogène de z = j: -+- iy, toutes ses dérivées des divers ordres, soit totales, soit partielles, seront aussi des fonctions monogènes de z.

1103. Supposons que la variable z soit elle-même une fonction monogène d'une autre variable Ç = Ç 4- i yj, de sorte que l'on ait

Toute fonction monogène de z sera aussi une fonction monogène de^.

On a, en effet, en supposant iv=y(z),

d'où, en vertu de Téquation (i) appliquée à la fonction z = cp(^),

àï

donc w, considéré comme fonction de ^ et de 77, est une fonction monogène de J H- lyj.

Autrement, on a, quel que soit dz,

et de même, quel que soit d!^, Donc

est une quantité indépendante de dX^\ donc w est une fonction monogène de la variable f .

1104. La condition de monogénéité, exprimée par l'équation

div=[li^iY)dzy

correspond à une relation géométrique remarquable entre les points du plan qui représentent les valeurs de la variable z et ceux

qui représentent les valeurs de la fonction w. Si Ton représente les difTérentielles de z et de w par

dz = |3^?, dw = <7^^ la formule précédente donne

- ^iV^-r) X -+- I Y,

F d'où, en égalant de part et d'autre les modules et les arguments,

- = \/\^^\\ X — ? = arctang

On voit par là que, dz et dw étant deux accroissements infiniment petits simultanés de la variable z et de la fonction w, le

rapport - de leurs modules et la différence ;f — 9 de leurs argu-

ments ne dépendent pas de 9 ou de dzj mais seulement de la position du point z lui-même.

Donc, si zZif zz^ [fig' 84) sont deux accroissements infinimenl petits de z, et wîvj, ww^ les accroissements correspondants de w,

Fig. 84.

les deux triangles zz^z^ et ^^^^v^^v^ seront toujours directement semblables.

Si donc on donne sur un plan un système de points (.t,j'), et que l'on représente ce système par les points (uyS^) d'un autre plan, en établissant entre les coordonnées des points correspondants des deux systèmes une relation arbitraire de la forme

les figures formées par ces deux systèmes de points correspondants seront semblables dans leurs éléments infiniment petits.

1105. Une fonction d'un nombre quelconque de variables

25o LIVRB VI. — GHAP. I, § I.

f{oCjj^ . . .) est dite continue dans le voisinage du système de valeurs j:,j^, ... , lorsque, pour des accroissements infiniment petits donnés à ces variables à partir de ce système de valeurs, l'accroissement de la fonction,

est lui-même infiniment petit, quels que soient les rapports des accroissements dx, djy .... Dans le cas contraire, la fonction est discontinue dans le voisinage du point {oCjj, . . .).

Une fonctiony(z) d'une variable complexes =ar-+-i/, étant un cas particulier d'une fonction de deux variables réelles, sera continue dans le voisinage du point z, lorsque la différence df[z) =f{z H- dz) — f{z) sera infiniment petite en même temps que dx et dy^ c'est-à-dire en même temps que le module de dz, ou que dz lui-même.

La fonctiony*(z) sera dite continue dans une portion de plan ou dans une aire donnée, lorsqu'elle sera continue dans le voisinage de tout point z situé à l'intérieur de cette aire.

Pour les points du contour qui limite l'aire, il pourra arriver que la fonction cesse d'être continue relativement aux points situés en dehors du contour ou sur le contour lui-même. On devra donc indiquer, dans chaque cas particulier, si le contour est ou non compris dans la région de continuité.

D'après cela, y ( z ) variera d'une manière continue entre deux limites données Zo, Z, lorsque, z passant de la position ^o à la position Z par un chemin de forme quelconque, pourvu qu'il ne présente aucune interruption, les valeurs à^f^z) correspondantes à deux positions infiniment voisines sur le chemin donné diffèrent entre elles infiniment peu.

Remarquons que, généralement, il ne faut considérer comme infiniment voisins, sur la courbe décrite par z, que les points tels que z passe de l'un à l'autre en parcourant un arc de cette courbe infiniment petit; de sorte que, dans le voisinage du point de croisement de deux branches de cette courbe, deux points, si petite que soit leur distance rectillgne, ne devront pas, dans certaines circonstances, être regardés comme infiniment voisins, s'ils appartiennent à des branches différentes.

Si la courbe qui va de Zo à Z est située tout entière à l'intérieur

CONTINUITÉ ET DISCONTINUITÉ DES FONCTIONS. 25l

de Y aire de continuité de la fonction y(z), cette fonction sera nécessairement continue tout le long de cette courbe.

H06. Une fonction peut devenir discontinue de plusieurs manières, soit en passant brusquement d'une valeur finie à une valeur finie difTérente, comme cela a lieu pour l'ordonnée d'une courbe présentant un point de rupture; soit en devenant infinie pour certaines valeurs de la variable, comme les fonctions

TT

y tang — 5 e^ S

pour z = c.

Un point ^ = c pour lequel la fonction y (z) devient infinie s'appelle, pour abréger, un infini de cette fonction.

De même, un point pour lequel la fonctiony*(z) s'annule est dit un zéro de cette fonction.

1107. Une fonction peut présenter des infinis de diverses natures, que l'on distinguera par la considération des valeurs

correspondantes de l'inverse -77-7 de cetle fonction. Pour les fonctions » tang — > par exemple, qui ont toutes

irz

les deux pour infini le point c, les valeurs inverses z — c et cot —

s'annulent l'une et l'autre en ce point, et, de plus, elles sont con-

tinues dans son voisinage. La fonction e*'^, au contraire, est infinie lorsque z — c tend vers zéro par une suite de valeurs positives; mais elle est nulle quand on fait tendre z — c vers zéro par des valeurs négatives; et la même chose a lieu, seulement dans

un ordre différent, pour la valeur e *"*^ de l'inverse de la même fonction. Dans ce dernier cas, on voit donc que l'inverse de la fonction est discontinu aussi bien que la fonction elle-même.

Nous donnerons le nom d'i/z/im proprement dit ou de point de discontinuité de première espèce [*) d'une fonction ^(z) à toute

(') M. C. Neumtnn t proposé la dénomination de pèle pour désigner ces valeurs. II nous a semblé que ce mot est déjà employé en Mathématiques dans trop de sens diflerents pour qu'il soit convenable de lui attribuer encore une nouvelle acception.

a5a LIVRE VI. — chap. i, § i.

valeur c pour laquelle, à une valeur infiniment petite et d'argument quelconque de la différence z — c, correspond une valeur infiniment grande Aef[z)jei une valeur infiniment petite et continue

de l'expression inverse -•

Nous réservons le nom de points de discontinuité proprement

dite ou de seconde espèce aux valeurs pour lesquelles --. — devient

discontinu en même temps quey(z), c'est-à-dire pour lesquelles f[z) et passent brusquement l'un et l'autre d'une valeur finie

à une valeur différente, soit finie, soit infinie.

On voit que, si une fonction y (xr) n'admet que des injînis proprement dits ou discontinuités de première espèce, tout infini de

f(z) sera un zéro de son inverse -r. — -> et, 'vice versa, tout zéro de fiz) sera un infini de — :

1108. Nous avons appelé uniforme une fonction qui n'admet, pour chaque valeur de la variable, qu'une seule valeur déterminée.

Telles sont les fonctions qui résultent des opérations 7*atio/z7ze//e5 de l'Algèbre : addition et soustraction, multiplication, division, élévation aux puissances entières. Telles sont encore les fonctions définies comme limites de sommes de séries absolument convergentes : par exemple, les fonctions exponentielles et circulaires. Tels sont enfin les résultats des diverses combinaisons d'un nombre fini de ces opérations entre elles.

En particulier, s\ f[z) est une fonction uniforme, son inverse

-rr — sera aussi une fonction uniforme.

1109. Si l'une des fonctionsy(z), — — a un infini proprement

dit au point c, l'autre fonction, étant continue dans le voisinage du même point (qui est pour elle un zéro), sera encore uniforme en ce point, si elle l'est pour tous les points infiniment voisins. Nous dirons alors que celle des deux fonctions qui devient infinie, et qui est uniforme dans le voisinage de son infini, est encore uniforme pour cet infini même.