IV :=. az -\- by

cz

z étant, dans les deux cas, une fonction uniforme de w, aussi bien que w est une fonction uniforme de z.

Mais généralement il n'en est point ainsi. Une fonction çv de z reprend la même valeur en différents points du plan, qui peuvent rire en nombre fini ou infini. Il en résulte alors que, si Ton considère réciproquement z comme une fonction de çv, la valeur en question de w correspondra à plusieurs valeurs différentes de z, et que z sera, par suite, une fonction multiforme de w»

Ainsi nous avons vu que la fonction w = z", n étant entier, prend des valeurs égales en n points distribués régulièrement sur un même cercle. Si donc on cherche à déterminer z par la condition que w prenne une valeur donnée çvo, on trouvera pour solutions n points différents. On dira alors que z =^ y/w est une fonction de w à n déterminations, ou une fonction n-forme de w.

Si deux variables w et z sont liées entre elles par une équation algébrique du degré m par rapport à ^ et du degré n par rapport k z, w sera une fonction m-forme de z, et z une fonction /z-forme de fv.

La fonction exponentielle ^ = e^ ne change pas lorsqu'on y augmente z d'un multiple quelconque de niii. Donc la fonction inverse z = log fv, définie par l'équation précédente, sera une fonction infinitif orme de w, admettant, pour chaque valeur de w, toutes les valeurs de z, en nombre infini, comprises dans la formule z -+- nkitiy quel que soit l'entier A.

a54 LIVBE VI. — CHAP. I, s H.

Remarquons, en général, que, si la fonction w=^f{z) est périodique, la fonction inverse 2 = 9(iv) admettra une infinité de valeurs, différant entre elles de multiples quelconques de rindice de périodicité.

§ II

REPRÉSEHTÀTICKT d'uNE VARIABLE COMPLEXE SUR LA SPHÈRE