REPRÉSENTATION D' UN POINT SUR L\ SPUÊRB

chaque valeur finie de Zy mais encore la valeur z = oo , à laquelle correspond le point unique et déterminé O'.

Diaprés cela, un contour qui, sur le plan horizontal des z, aurait deux branches infinies, comme une parabole, sera remplacé, sur la sphère, par un contour fermé, passant par le pôle 0^ De même, à une hyperbole tracée sur le plan des z correspondra sur la sphère un contour de forme analogue à celle d'un 8, ayant son point multiple en CV.

lilâ. Nous avons dit tout à Theure qu'à un déplacement infiniment petit de Tun quelconque des points z, ^ correspond généralement un déplacement infiniment petit de Taulre, de sorte qu'une fonction continue de l'une des variables z, ^ est aussi une fonction continue de l'autre. Mais il peut y avoir exception pour le point de Vinjîni O'.

En effet, sur le plan des z, les valeurs de z de module infiniment grand et d'arguments différents vont en divergeant de plus en plus , tandis que les points correspondants de la sphère vont en convergeant vers le même point O', indépendamment des valeurs des arguments. A ces valeurs divergentes de z peuvent correspondre des limites différentes pour la valeur d'une fonction donnée de z. Il peut donc se faire qu'une fonction uniforme et continue pour tous les points de la sphère autres que O' devienne multiforme et discontinue en ce point, où se réunissent des valeurs de la fonction différant entre elles de quantités finies ou infinies.

Par exemple, la fonction

««• -H hz -\- c

qui, pour z == oo , tend vers la limite finie et déterminée -j% quel

que soit l'argument de z, sera encore uniforme et continue en O', par rapport à la variable ^.

Au contraire, la fonction [367]

sinz = sinx Chjr + i cosx Sh jr

ne tend pas vers une limite déterminée pour z = oo ; car, pour X = o, ou p= -9 elle devient i X » ; pour j^ = o, ou p = o, elle

236 LIVBB TI. — CHÂP. I, { II.

devient sînœ , quantité indéterminée et susceptible de toutes les valeurs comprises entre — i et + 1- Donc en Qf la fonction sinz n^est plus uniforme et continue comme en tous les autres points de la sphère. Elle a en ce point une discontinuité de seconde espèce [H07].

1113. On peut concevoir le passage de la représentation sur le plan à la représentation sur la sphère comme résultant d'une déformation continue du plan, qui consisterait en ce que chaque point z du plan se transporterait sur la sphère sans changer d'azimut, en suivant la droite (y z. Par un semblable mouvement de tous ses points, la droite Oz viendrait, en se raccourcissant , s'appliquer sur Tare de grand cercle OÇ. Dans ce mouvement, un observateur placé en z, debout au-dessus du plan horizontal, viendrait, en accompagnant le point z, se placer au point ^, sur le prolongement du rayon de la sphère.

On voit aisément comment le point ^ se changerait en z par la transformation inverse, qui consisterait à appliquer, en le dilatant, l'arc O^ sur sa tangente Oz, l'extrémité ^ suivant la droite (VX^.

1114. Si maintenant, au lieu d'appliquer O^ sur sa tangente en O, on applique de la même manière l'arc O'^ sur sa tangente en O', en faisant suivre à l'extrémité ^ la droite O^, ce point se transportera en un point z', que l'on pourra considérer comme une nouvelle transformation du point z. Dans ce déplacement, l'observateur debout en î^, sur la surface extérieure de la sphère, viendra se placer debout en z', au-dessous du plan tangent à la sphère en C, auquel nous donnerons, pour cette raison, le nom de plan antipode du plan horizontal.

Pour l'observateur ainsi transporté, les mouvements autour de Taxe OO' qui, dans sa position primitive, s'effectuaient pour lui de droite à gauche ou dans le sens direct, s'effectueront maintenant de gauche à droite ou dans le sens rétrograde. Si donc on continue à considérer comme positijs les angles décrits dans le sens direct, il faudra prendre, dans le plan antipode, les angles décrits autour de l'axe des [pôles avec un signe contraire à celui qu'on leur attribuait dans le plan horizontal, leur valeur numérique restant la même.

REPRÉSENTATION d'uN POINT SUR LE PLAN ANTIPODE. 267

De plus, les distances Oz et OV ayant pour valeurs tangu et cotUy leur produit est égal à Tunité.

Donc, si l'on rapporte le point ^ à l'origine O' et à un axe O'a/, qui soit la projection de Oj: sur le plan antipode, et si on le représente, en conséquence, par

un devra prendre

d'où il résulte

Donc, en adpptant les conventions précédentes, la nouvelle variable J sera une fonction monogène de l'ancienne variable z, et par suite [1103] toute fonction monogène de z sera aussi une fonction monogène de -s', et réciproquement.

On voit, de plus, qu'à une valeur infinie de l'une des deux variables z, z' correspond une valeur nulle de l'autre, et vice versa. On peut donc, à l'aide de cette transformation, remplacer l'étude d'une fonction pour des valeurs infiniment grandes de la variable par l'étude de la même fonction dans le voisinage de la valeur zéro de la variable réciproque. Ainsi l'ensemble de ces deux plans des z et des zf équivaut à la sphère comme moyen de représentation,

dans un espace fini, de toutes les valeurs, tant finies qu'infinies, de la variable z,

INTÉGRALES DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE COMPLEXE, PRISES LE LONG d'uN CONTOUR DONNÉ.

1115. Nous appellerons aire une portion de plan limitée de toutes parts, et contour de l'aire la ligne ou l'ensemble de lignes qui limitent cette aire.

Une aire sera dite simplement connexe lorsque son contour sera formé d'un seul trait continu, de manière qu'on puisse parcourir entièrement ce contour sans pénétrer dans l'aire. Telles sont les aires du triangle, du cercle, etc.

H. — Cours de Calcul in fin., III. 17

a58 LivBB VI.— CHAP. I, s m.

Une aire sera dite doublement, triplement, . . . connexe si son contour se compose de deux, de trois, . . . parties fermées qui ne sereocontrentpas, et telles qu'on ne puisse passer de l'une à l'autre sans pénétrer dans l'intérieur de l'aire. L'espace compris entre deux cercles concentriques est une aîre doublement connexe.

\ 116. Une même ligne servant de limite à ia fois aux deux portions de plan qu'elle sépare, il importe de distinguer, par une convention relative au sens dans lequel on suppose celte ligne parcourue, celle des deux portions du plan que l'on considère comme étant le champ de variation de la quantité z.

Imaginons un observateur debout sur la partie supérieure du plan, et faisant le tour de l'aire considérée, de manière à avoir constamment cette aire à sa gauche. Le sens dans lequel devra marcher cet observateur s'appellera le sens direct ou la direction positive du contour de cette aire. Le sens opposé s'appellera le sens rétrograde ou la direction négative du contour.

Si l'on considère tour à tour comme aire les deux portions de plan limitées parla même ligne, le sens qui sera direct par rapport à l'une sera rétrograde par rapport à l'autre. Il suffira d'indiquer le sens que l'on considère comme direct, pour que l'on sache par cela même de laquelle des deux portions du plan il doit être question.

Ainsi, dans (a^î^. 85, les flèches qui indiquent le sens direct

pour chacun des deux contours montrent que l'aire que l'on veut considérer est la portion ombrée, comprise entre les deux courbes.

1117. Une droite indéfinie dans les deux sens, menée à travers une aire, rencontre nécessairement le contour de l'aire un nombre

INTBGBALES PBtSBS LE LONG H'VJt CONTOUR. aSg

pair de fois, autant de fois pour enU-er dans l'aire que pour en sortir.

Supposons d'abord cette droite parallèle à l'axe des x, et parcourue dans le sens des x croissants. Si l'on représente par x, , X], . . . , X2„ les abscisses des points de rencontre consécutifs de cette droite avec le contour, les abcisses d'indices impairs correspondront à des points d'entrée, les abscisses d'indices pairs à des points de sortie.

Si un point s'avance sur le contour de l'aire représentée par la partie ombrée de \a Jig. 86, de manière que sa projection sur

Ffg. 86.

l'axe des y marche dans le sens des y croissants ; si ce point passe du dessous au dessus de la parallèle aux x, ce point marchera dans le sens rétrograde à chaque entrée de cette parallèle, et dans le sens direct à chaque sortie. Cela revient à dire que, si un point parcourt le contour constamment dans le sens direct, l'élément qu'il décrit en passant par un point de sortie fait un angle ttigu avec la partie positive de l'axe des j^; l'élément qu'il décrit en passan t par un point d'entrée fait un angle obtus avec cette même partie positive.

D'après cela, si l'on désigne par dyi, la variation de l'ordonnée^' du point mobile sur le contour lorsqu'il rencontre la parallèle aux X à l'extrémité de l'abscisse Xi, dyi, sera positif ou négatif suivant que Xk correspondra à un point de sortie ou à un point d'entrée, c'est-à-dire suivant que l'indice k sera pair ou impair. Si l'on désigne donc par dj la distance absolue de deux parallèles à l'axe des X infiniment voisines, on aura, en général,

26o LITBB TI. — CHAP. I, { III.

1118. Soit maintenant V=:V(x,^) une fonction, réelle ou complexe, des deux variables réelles Xyj^ qui soit continue (et par suite finie) dans toute Tétendue d^une aire donnée 3, j compris le contour de cette aire. Supposons, de plus, que la fonction V soit uniforme dans toute cette étendue, c*est-à-dire qu'elle ne soit susceptible que d'une seule valeur pour un sjstème quelconque de valeurs de x et de^, correspondant à un point quelconque de Taire ou de son contour. Il pourra se faire quelquefois que la

dérivée -r— ne soit pas toujours finie et continue ; mais il nous

suffit ici que la fonction Y elle-même le soit [4o8]. Considérons l'intégrale double

dxdy^

relative à tous les éléments dxdy de Taire 3. Pour l'évaluer, nous couperons d'abord Taire par des parallèles à Taxe des x infiniment rapprochées, et nous évaluerons la valeur de l'intégrale correspondante à la tranche infiniment mince comprise entre deux parallèles consécutives. Cette valeur se composera d'autant de parties qu'il y a de couples de points d'entrée et de sortie. On prendra Tinlégrale indéfinie

on ajoutera les valeurs de cette quantité correspondantes aux points de sortie, et Ton retranchera les valeurs correspondantes aux points d'entrée. Si Ton désigne donc par \k la valeur de V qui répond à l'abscisse Xkj on devra ajouter les valeurs Yhdj qui répondent à h pair, et retrancher celles qui répondent à A" impair, ce qui donne, pour Tintcgrale prise dans l'étendue de la tranche,

Or, d'après ce que nous avons vu dans le numéro précédent, si (lyk est la variation de l'ordonnée j d'un mobile parcourant le contour dans le sens direct, obtenue lorsque ce mobile traverse la tranche considérée au point [xkjj), on a djrk=^ ( — lYdj. Donc la valeur de Tlntégrale relative à la tranche peut s'exprimer par

INTÉGRALES PRISES LE LONG d'uN CONTOUR. 261

Pour avoir maintenant Tin tégrale double relative à Taire totale^, il faudra faire la somme de toutes les expressions analogues à la précédente, en faisant varier y entre ses limites extrêmes. On obtiendra ainsi la somme des produits des valeurs de V relatives à tous les points du contour, multipliées respectivement par les variations correspondantes de l'ordonnée y d'un point mobile parcourant le contour dans le sens direct, lorsque ce point passe d'un point au point infiniment voisin.

Une telle somme s*appelle l'intégrale de l'expression Vrfj^, prise le long du contour de l*aire ^, et nous la désignerons par la notation

On aura soin de se rappeler que. la .lettre ;2l, mise au bas d'un signe de double intégration, indiquera toujours que l'intégrale se rapporte à tous les éléments .superficiels de l'intérieur de l'aire, tandis que la même lettre, mise au bas d'un signe d'intégration simple, indiquera toujours que l'intégrale est prise le long du contour de Faire.

D'après cela, l'intégrale double proposée se trouvera ramenée à une intégrale simple, prise le long du contour de l'aire, et l'on aura la formule •

1119. Si l'on traite de même l'intégrale double

U étant encore une fonction de a: et de y uniforme et continue dans toute l'étendue de l'aire 2i, on parviendra à la formule

le signe — provenant ici de ce que, dans une tranche parallèle à l'axe des j'y les dxk relatifs aux points d'entrée doivent être pris positivement, et les dxk relatifs aux points de sortie négativement.

1120. En retranchant Tune de l'autre les équations (i) et (a), on obtient Téquation

d'où l'on conclut ce théorème ;

«Si \] et Y sont deux fonctions des ^variables réelles ar,j^, uniformes et continues dans toute l'étendue de l'aire ^y la ^valeur de l'intégrale double

étendue à tous les éléments superficiels dxdjr de cette aire, est égale à la valeur de l'intégrale simple

(5) Ç [JJdx-^rydy],

prise en donnant à x et à y successivement tous les systèmes de valeurs qui correspondent aux dix^ers points du contour total de l'aire, lorsqu'on parcourt ce contour dans le sens direct.

1121. Si l'expression \]dx -^-Wdy est une différentielle exacte

[773], la différence -^ -r- sera identiquement nulle pour toutes

les valeurs de x et de j^. Donc l'intégrale (4) s'annulera, et, comme l'égalité (3) ne cessera pas d'avoir lieu, l'intégrale (5) sera pareillement nulle. Donc :

Toutes les fois que, \i et\ étant deux fonctions uniformes et continues des variables réelles x, y y dans toute l'étendue de l'aire 3, l'expression IJdx -H Ydy sera une différentielle exacte, c'est-à-dire toutes les fois qu'on aura

l 'intégrale j {Udx-h Ydy ) , prise le long du contour de l'aire 3 , sera nulle.

INTÉGRALES PRISES LE LONG D'uN CONTOUR. ^63

Ce qui a lieu pour Faire totale Z est également vrai pour toute partie de cette aire. Donc l'intégrale (5) est encore nulle, lorsqu'on la prend tout le long d'une courbe fermée quelconque tracée à l'intérieur de l'aire 3i.

Remarquons que, dans le cas d'une aire à connexion multiple, comme celle que représente Isijig. 86, on ne doit pas considérer comme un contour fermé tracé à l'intérieur de l'aire une courbe qui renfermerait dans son intérieur une enclave n'appartenant pas à l'aire. Par exemple, le théorème précédent ne s'appliquerait pas au cas où, l'aire 2, étant comprise entre deux cercles concentriques, la courbe fermée serait un troisième cercle de même centre, tracé entre les deux premiers. Cela tient à ce que ce troisième cercle ne forme qu'une partie du contour total de la portion de l'aire ^ comprise dans son intérieur.

1122. Il est aisé de voir que, si l'on prend une même intégrale quelconque, telJe que f(\}dx -f- ^dj), le long d'une même ligne, fermée ou non, en parcourant tour à tour cette ligne dans les deux sens opposés, les deux valeurs obtenues pour l'intégrale se composeront d'éléments égaux respectivement et de signes contraires. Donc les deux valeurs de l'intégrale seront égales et de signes contraires.

1123. Cela posé, désignons, pour un instant, par ^(ADB)

(fiS' ^7 ) ^* valeur d'une certaine intégrale prise le long de l'arc ADB, cet arc étant parcouru dans le sens indiqué par l'ordre des lettres.

On aura

/(ADB)=-./(BDA).

On a d'ailleurs évidemment

/(ACBDA)=/(ACB)h-/(BDA);

on peut donc écrire aussi

/(ACBDA) =/(ACB) -/(ADB).

Si maintenant l'intégrale y*( ACBDA), étendue au contour fermé tout entier, est nulle, on en conclura

/(ACB) = /(ADB).

Donc, si l'intégrale considérée est nulle quand on la prend tout le long du contour de l'aire 2i ou d'une courbe fermée quelconque tracée à l'intérieur de cette aire, la valeur de cette intégrale, prise le long d'une courbe tracée entre les points A et B, et située tout entière à l'intérieur de l'aire, restera la même, quelle que soit cette courbe, et ne dépendra que de la position des points extrêmes A et B.

C'est ce qui aura lieu en particulier lorsque cette intégrale sera de la forme considérée plus hauty*(Urfa:-+- Vrfy), U et V étant des fonctions uniformes et continues de x et de^, et Udx-^Vdjr étant une différentielle exacte.

1124. Soit maintenant w =z u-hii^ une fonction synectique de la variable z = x -h iy, et supposons que cette fonction soit continue dans l'intérieur de l'aire 3. On aura [1098]

du dv du dv

d.r dy ày àx

Donc chacune des expressions

vdx -f- udy^ udx — vdy

est une différentielle exacte. Donc, en vertu du théorème du qO 1121, chacune des intégrales

J[ydx-\- udy]^ 1 [udx — udy)