INTÉGRALES P.RISES LE LONG.D*UN CONTOUR. 2G

est nulle, et il en est de même de la somme

J[ud.T — i'dx) -h i 1 (vdx -\- udj) := f ( « -h /V ) ( ^j: 4- idf )

wdz.

Par conséquent y si w est une fonction synectique de la variable

complexe z qui soit continue dans toute l'étendue de l'aire Z,

l'intégrale 1 wdzy prise le long du contour de cette aire [ou,

plus généralement, le long d'une courbe/ermée quelconque tracée dans cette aire), est nulle.

1125. On en conclut encore que l'intégrale | wdzy prise le

long d'un chemin quelconque tracé à l'intérieur de l'aire entre les points Zq et Z, est indépendante de la forme du chemin parcouru, et qu'elle ne dépend que de la nature de la fonction ^ et des seules limites ^o et Z.

On peut voir, de plus, que cette intégrale est une fonctipn sjnectique de ces limites. Supposons, en effet, que l'on fasse varier une des limites Z de la quantité infiniment petite Z| — Z = r/Z. L'intégrale croîtra de la quantité

Jf*Z| /*z,

' wdz = 1 ( a -f- «V) [dx -+- idjr)^ Z Jz

OU, en posant Z = X 4- * Y, Z| = X| -h i Y| ,

j ''^dz^J '[«(x,y) + ,v(x,T)]rfx + ij [«(x.,r)-+-'^(x,.7)]rfr.

f désignant une valeur moyenne entre X et Xi , y] une valeur moyenne entre Y et Y| . Cette quantité différera infiniment peu de

a66 LIVRB YI. — CHAP. I, § III.

Donc, lorsque Zj converge vers Z, le rapport — I wdz

convergera vers la limite tv(Z), indépendante de Z| — Z. Donc

rintégrale I wdz sl une dérivée par rapport à sa limite supé-

rieure Z, et cette dérivée est la valeur de la fonction qui multiplie dz sous le signe f^ dans laquelle on aura remplacé z par cette limite supérieure.

Cette intégrale, satisfaisant à la condition de monogénéité, peut donc être considérée comme une fonction synectique de sa limite supérieure, comme dans le cas d^une variable réelle. Il en sera évidemment de même pour la limite inférieure, de sorte qu'on aura, comme au n** 470,

1126. D'après cela, les intégrales définies des fonctions d'une variable complexe uniformes et continues dans l'étendue d'une aire ^ jouissent de propriétés analogues à celles des intégrales définies des fonctions d'une variable réelle, établies dans le § TV du Chapitre II du Livre I.

Ainsi, ^ étant un point quelconque de l'aire 3, on aura [245]

d'où l'on déduira les mêmes conséquences qu'aux n^' 245 et 246.

On peut donc remplacer une intégrale / wdz^ dont les deux limites sont variables, par la différence

wdz — I (vdz c Je

de deux intégrales, dont chacune a une seule limite variable. On a de plus [1122]

wdz=i — / wdz, r. t/Z

1 wdz=^ I ivdz-\- j wdzj