INTÉGRALES PRISES LE LONG D*UN CONTOUR

Enfin, toutes les fonctions dont la dérivée estiv=w(z) dans l'intérieur de Taire 2i sont comprises dans la formule

z îvdz -I- C,

C étant une constante indépendante du chemin parcouru pour aller de z^ en z. Si l'on désigne par F(z) une quelconque de ces fonctions, telles que F'(z) = w, on aura, en éliminant C,

Si la fonction iv est uniforme et continue dans toute l'étendue du plan, comme le sont les fonctions

e% C0S2, sinz, a'" (m entier et positif],

on pourra supposer l'aire^ aussi grande que l'on voudra, et prendre pour ^0 et Z deux points quelconques du plan. Pour de telles fonctions, le passage de l'intégrale définie 1 wdz à l'intégrale indé-

finie, et vice versa, se fera absolument comme dans le cas d'une variable réelle.

1127. Considérons une intégrale quelconque y*(Urfa: -H Vrf/), prise successivement le long des contours de deux aires ^ elB ifië' ^^)> ^^^ contours, qui ont une partie commune, ne passant

par aucun point de discontinuité des fonctions uniformes U, V. Les intégrales prises le long de chacun de ces contours auront des valeurs finies et déterminées, quelles que soient les discontinuités

a68 LIVRE VI. — GHAP. I, § III.

que les fonctions U, V peuvent présenter dans l'intérieur des deux aires.

Or on a, dans tous les cas,

f [Vdx 4- Vdy) =:/(AEB) -h/(BCA),

r(U^-+-Vflrr)=/(ADB)-f-/(BEA); .

comme on a d'ailleurs [1122]

/(AEB)+/(BEA)=o,

on en conclut

r+ r=/(BCA)-^/(ADB).

Jz Je

Mais la somme BCA + ADB forme le contour total de Taire ADBGA = ;3l-f- 6. Donc, en désignant par / l'intégrale prise

le long du contour de l'aire totale ;2l -f- U, on a, en général,

Si l'on suppose maintenant que XJdx-hVcfy soit une différen-r

tielle exacte, et que les fonctions uniformes U, V soient continues

. /* dans toute l'étendue de l'aire 3, on aura alors ; = o, et par con-

séquent

f [Vdx-^Ydx)= f [TJdx-hWdx),

J2i^e Jb

Donc, l'intégrale prise le long du contour d'une aire quel-conque H ne change pas, lorsqu'on ajoute à l'aire B une autre aire ^, dans laquelle les fonctions X] etV sont partout uniformes et continues.

Il en résulte que l'on peut aussi, sans changer la valeur de l'intégrale / ( U dx H- V ^ ) , retrancher de l'aire B toute portion de

cette aire à l'intérieur de laquelle les Jonctions TJ et Y restent uniformes et continues.

INTÉGRALES PRISES AUTOUR d'uN POINT. 269

§iv.

DES INTÉGRALES PRISES AUTOUR d'uN POINT (rÉSIDUs). REPRÉSENTATION D^UNB FONCTION SYNEGTIQUE SOUS LA FORME

d'un RÉSIDU.

11S8. Soit çv=y(^) une fonctîon de la variable complexe z; supposons qu'elle reste uniforme dans toute l'étendue de l'aire ^^ mais qu'elle présente, à l'intérieur de cette aire, des solutions de continuité en des points 01,02, . . ., en nombre fini, et isolés les uns des autres. Entourons chacun de ces points d'un contour fermé, aussi petit que l'on voudra, et désignons par

wdz

l'intégrale de wdz prise le long du contour infiniment petit qui entoure le point c.

Si l'on considère la portion de l'aire 3i qui resterait après la suppression des aires infinitésimales qui entourent les points de discontinuité, la fonction w sera uniforme et continue en chaque point de cette portion. On pourra donc, d'après le théorème du numéro précédent, supprimer cette portion d'aire sans changer la

valeur de l'intégrale / wdz. Donc cette intégrale est égale à la

somme des intégrales prises le long des contours infinitésimaux tracés autour des points de discontinuité que renferme l'aire 3i^ c'est-à-dire que l'on aura

Jwdz==z f wdz -i- 1 (vdz 3i Je. J c^

Donc, pour évaluer une intégrale prise le long du contour d'une aire quelconque, il suffit de savoir évaluer une intégrale prise le long d'un contour infinitésimal tracé autour d'un point de discontinuité.

H29. Soit c un point de discontinuité de la fonction çv, et voyons

comment on peut calculer la valeur de l'intégrale I wdz^ prise

autour de ce point.

Cette intégrale étant, d'après ce que nous avons dit, indépendante de la forme du contour infinitésimal qui renferme le point de discontinuité c, on peut supposer que ce contour soit un cercle de centre c et de rayon infiniment petit p. Posons alors

Lorsqu'on fera faire au point z le tour de ce cercle, ç> variera seul, et croîtra de 2 7r, si, comme dans le cas actuel, z fait une seule fois le tour de c. On aura donc

dz =■ fpe^^df = « (z — c)^7y et par suite

I n'{lz=ii I (v[z — c)df, «. c J 0

\ 130. Supposons d'abord que, lorsque z — c tend vers zéro, le

produit

converge vers une limite finie F (pouvant être nuUe), c'est-à-dire que la quantité

F=:Iim[e/(c-t-6)] c=o

•aw

J^aw M'(z — c)rfy o

X et Y étant des quantités réelles, dépendantes de la position du point z sur la circonférence, et par conséquent fonctions de la variable cp et du paramètre infiniment petit p. On a donc [247], en désignant par in (X),^ (Y) des valeurs moyennes de X et de Y,

r ' Xr/yr:::27rin(X), Ç "" Y dff ~^ It: M[\),

INTÉGRALES PRISES AUTOUR D'uN POINT. 271

Par conséquent.

iv[z—c]df = 27z[m[X) H-/^(Y)].

Or le second membre a évidemment pour limite an F lorsqu'on y fait converger p vers zéro ou z vers c. Donc

[1) j t%*dz= 2iri¥i où F^=:lim«'(z — c).

Je «=c

La quantité

(3) F=: -^ Ctvdz

est ce que Cauchy appelle le résidu de la fonction w relatif au pointe.

1131. Dans le cas où limw[z — c) est infinie, nous continue-

rons à prendre Téquation (3) pour définition du résidu. Mais alors F n'aura plus la même expression que dans le cas précédent, et nous apprendrons plus tard à en déterminer la valeur.

On peut cependant obtenir immédiatement le résidu lorsque la fonction w est développable en une série convergente, finie ou infinie, ordonnée suivant les puissances négatives et positives de la différence z — c. Supposons, en effet, que le développement soit de la forme

«^ = . . . -f- , T— 4- ... H \-aQ-\-. . ,-h aJz— cy*-^. . .,

ou, en posant encore z — c = pe'?,

En multipliant les deux membres par dz = ipe'^^dffy et intégrant entre les limites cy = o et ç = aTr, on aura, pour toute valeur entière de V autre que — i ,

a^pV*'?. ipe'^df z=L ia^f^^ j e^('"^^^'fdy = o, o Jo

a7a LivHB VI. — chap. i, § iv.

tandis que, pour v = — i ,

On verrait d'ailleurs, comme au n® 72, que, si R est le reste de la

série, Tintégrale / ^dz est infiniment petite en même tempi

que R. Donc I ivrfz se réduit à intia^x , et, par suite, le résidu de la fonction relatif au point c sera

Donc, lorsqu'une fonction iv, discontinue au point c, est développable en une série convergente, ordonnée suivant les puissances entières de z — c et renfermant des puissances négatives de z — c (sans quoi elle ne donnerait pas une valeur infinie pour z = c), le résidu de la fonction w relatif au point c sera égal au coefficient de la puissance — i de z — c dans le développement de w.

C'est ce dernier énoncé que Cauchy avait pris pour définition du résidu d'une fonction relatif au point c.

1132. Toutes les fois que la fonction w a une valeur finie au point c, alors l'intégrale prise autour du point c est nulle, puisque le contour peut être pris assez petit pour ne renfermer aucun infini de la fonction. Donc le résidu relatif à tout point qui n'est pas un infini est nul.

D'après la formule (1), l'intégrale prise le long du contour de l'aire totale 3i est égale à 2 7ri multiplié parla somme des résidus de la fonction relatifs à tous les infinis contenus dans l'aire. D'après la remarque que nous venons de faire, on peut, sans altérer celte somme, y joindre la somme des résidus, tous égaux à zéro, relatifs à tous les autres points de l'aire, et alors l'intégrale

(vdz

représentera la somme des résidus relatifs à tous les points de