INTÉGRALES PRISES AUTOUR D'UN POINT

l'aire. Cauchy Fa nommée^ pour cette raison, le résidu intégral de Taire ^.

1133. Soit maintenanty*(z) une fonction uniforme et continue dans toute l'étendue de Taire ^, et soit c un point quelconque de l'intérieur de cette aire. La fonction

sera continue dans toute l'étendue de l'aire ^, excepté au point 2 = c. Donc l'intégrale 1 F(z)rfz, prise tout le long du contour

de 3y se réduira à l'intégrale de la même fonction prise autour du point c. Or on a [1130]

Y[z]dz'= 3 7r/.lim(z — c)Y[z], Je

D'autre part,

lim [z - c) ¥[z] = \im/{z)=/{c).

Z = C Zz=iC

On aura donc la formule fondamentale

ou, en substituadt [1132] le contour de l'aire 3 au contour infinitésimal tracé autour de c,

fie) = j. r m. ,,,

On conclut de là ce théorème :

Si f{z) est une Jonction unijorme et continue dans toute l'étendue de l'aire 51, ef z un point quelconque de l'intérieur de l'aire, la valeur de f[z) en ce point est égale à la valeur du

résidu de la fonction ' J^ relative au point z, cest-à^-dire que l'on a

H. — Cours de Cale, in fin,, III. l8

1134. La fonction -.;;- est continue sur tout le contour de 3i,

non-seulement par rapport à la variable ^, mais encore par rapport

à la variable z, c'est-à-dire qu'elle varie d'une manière continue à

rintérieur de l'aire 3. On peut donc la difTérenlier par rapport à z^

ce qui donne