BEPRÉSENTATION D*UNE FONCTION PAR UN RÉSIDU

On voit donc que la règle de la diiTérentiation sous le signe J [470] s'applique aussi aux intégrales prises le long d'un contour fermé, pourvu que la fonction ç(?[, z) et sa dérivée D^^ ç(?^, r) par rapport au paramètre z restent l'une et l'autre finies lorsque ^ parcourt le contour.

Si la fonction fs^['Ç, z) et sa dérivée D«9(C, -z), considérées comme fonctions de *^, n'ont pas d'autre infini que le point z dans l'intérieur de l'aire 3, on pourra substituer à leurs intégrales prises le long du contour de 3 leurs intégrales prises autour du point z [H28], et la formule précédente deviendra

ce qui est la formule pour la diiTérentiation des résidus.

En appliquant cette formule à la fonction 'f y on tirera de

la formule (4)i 6n vertu des égalités du numéro précédent, les relations

{ 1 .2 '2Tri J (Ç — s)''

toutes les intégrales étant prises soit autour du point z, soit le long du contour d'une aire quelconque 3i entourant le point z et ne renfermant aucun point de discontinuité de la fonctiony*(2).

1136. Ces relations conduisent immédiatement à une conséquence importante. Les fonctions sous le signe y*, dans les seconds membres des formules (5), étant toutes finies et continues toutes les fois que z désigne un point situé à l'intérieur de l'aire 7i, les intégrales auront toutes des valeurs finies. Donc toutes les dérivées de y{z) sont des quantités finies dans l'intérieur de l'aire 3.

Il s'ensuit également de là que ces dérivées sont aussi conti-

tïueSy car, si J'^"'^*^{^) est une quantité finie, s désignant un infi-

aiment petit, raccroissement

sera infiniment petit en même temps que dzy d'où l'on conclut la continuité de la fonction y ^''^(j:). Il en sera de même, par conséquent, de toutes les dérivées précédentes.

Donc , si une fonction est uniforme et continue dans toute l'étendue de l'aire 51, toutes les dériv^ées de cette fonction seront aussi des fonctions uniformes et continues dans toute l'étendue de la même aire.

4137. Supposons qu'une fonction ^"(2) soit toujours uniforme, finie et continue dans toute l'étendue du plan. Prenons pour aire un cercle de rayon R, et soit

Ç=rRe'>, d'où ^r=:/Çr/y.

On aura alors

Jo Ç

Or, pour R infiniment grand, y(Ç) restant, par hypothèse, toujours finie, l'intégrale précédente sera finie et différera infiniment peu de

quantité finie et indépendante de z, Honcfl^z) est aussi indépendante de z et se réduit à une constante.

Donc toute fonction uniforme de z qui ne se réduit pas à une constante doit dei^enir infinie pour quelque valeur finie ou infinie de z,

1138. Si la fonction /'(z) ne se réduit pas à une constante, il

en sera de même de ^i — ' ^^ cette dernière fonction devra pré-

senter aussi un ou plusieurs infinis. Donc la fonction y*(z) devra présenter un ou plusieurs zéros.

Une seule des deux fonctions y(z), j— pouvant devenir infinie

PROPRIETES DES PONCTIONS UNIFORMES. 277

pour z = 00 y l'autre devra avoir un infini pour quelque valeur finie de z; de même pour les zéros. Donc toute fonction uniforme a au moins soit un zéro, soit un infini, situé à une distance finie de l'origine.

En particulier, une fonction entière f{z)y ne devenant infinie que pour ^ = 00, devra s'annuler une fois au moins pour une valeur finie de ^, ce qui nous donne une autre démonstration du théorème fondamental de la théorie des équations algébriques [87].

La fonctiony(z) — h devant avoir au moins un zéro, on voit qyH une fonction uniforme f[z) reçoit, dans l'étendue du plan, toutes les valeurs possibles, y compris zéro et l'infini.

4139. Nous n'avons considéré jusqu'à présent que les valeurs àef[z) correspondantes aux valeurs finies de z. Pour étudier la valeur correspondante à z = 00 , nous aurons recours à la transformation par rayons réciproques du n° 1114, en posant

= 1, d'où /(3)^.=-/(i)f,

Soit ^ une aire qui comprenne tous les infinis de la fonction y(z) correspondants à des valeurs finies de z. Le contour de 51 sera représenté sur le plan des z' par un nouveau contour entourant une aire ;2l', en dehors de laquelle se trouveront tous les points z' qui correspondent aux points z situés à l'intérieur de 3; Taire ^' ne contiendra donc dans son intérieur aucun infini de la

fonction f{z) onfi-^U à l'exception de celui qui répondra à

2 = 00 ou à 3'= o-

Le résidu inté^al de l'aire 2i' se réduira, par conséquent, au

résidu relatif au point z* z=. o, le seul infini de la fonctionyf — j oaf{z) qui soit contenu dans 3'. On aura donc

Or, quand on parcourt le contour de 3i' dans le sens direct relativement à l'aire intérieure à ce contour, l'intégrale se compose d'éléments respectivement égaux aux éléments de l'intégrale

ajS LIVRE VI. — CHAP. I, § IV.

I fiz)dz, prise en laissant V extérieur de ce contour à sa

gauche, et, par suite, ces éléments sont égaux et de signe contraire à ceux de l'intégrale — : / f[z)dzy prise dans le sens direct par

rapport à V intérieur de l'aire 3. On aura donc, en vertu de l'égalité précédente,

Donc le résidu intégral relatif à tous les infinis àef[z) autres

que z = Qo est égal à plus le résidu de la fonction — y ( — J relatif à z'= o.

Il s'ensuit de là que, si

a une limite nidle ou fi/iie F pour z'= o ou pour z = 00 [H30], on aura, pour le résidu intégral dej'(^z) relatif à l'aire ^,

-i-. Çf[z)dz=:Y.