CI
Exemple. — Soit une fonction rationnelle î;A-t> i{z) et F(2) étant deux polynômes, l'un du degré m, l'autre du degré n^ savoir
f(z) =«0+ Oi«-h. . .-i-^w«"*»
On tire de là
La fraction du second membre pourra, par simple division, se
mettre sous la forme 7^ H- «,2'-f- «2^'* -f-. . ., d'où, en posant n — m — 2 = — fx,
-s** ' -4- ... -4- «5*- 1 2'-* -f- Wj
En intégrant les deux membres le long du contour de 2i'j comme au n" 1131 y on a, le résidu de ci>^ étant nul.
= «jL-r
Donc , pour m — 7i-|-a = fz^i, ou/î<[m-hi, on a
OU, d'après ce que nous verrons plus loin [1158], Pour /i = i, ou /î = m-|-i.
Enfin, pour fx <^ i ou «> m H- 2, le résidu intégral est nul. On aurait obtenu immédiatement ces deux derniers résultats
en cherchant la limite, pour -z = 00 , de l'expression z :—-— •
a8o LIVBB VI. — CHAP. I, § V,
THÉORÈMES DE CÀUGHT ET DB LÀUREITT.
1140. Soitc un point de l'aire 3. De Fidentité
I z — c fz — c)'*-* [z — c\
on tire, en multipliant les deux membres par — : f{X^)dX^ et intégrant tout le long du contour de ^,
en posant, pour abréger,
où les intégrales sont prises soit autour du point c, soit le long du contour de l'aire ^, et
"■'ù^'-'^'ir^^
Des équations (4) et (5) des n°' 1133 et 1135, il résulte que Ton a
THBOHBIIE DE GAUCHY. 281
Donc
formule qui contient le théorème de Cauchj-, lequel est une généralisation du théorème de Taylor.
Si le terme complémentaire Sln est infiniment petit pour n infiniment grand, la formule (3) donnera le développement de la fonction y*(z) en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières et positives de la différence z — c. Cette série coïncide avec la série de Taylor dans le cas particulier où r et c sont réels.
1141. Supposons que l'aire 3i, à Tintérieur de laquelle la fonction f{z) reste finie et continue , soit un cercle de centre c et de rayon R, et posons
d'où =id<D, On aura alors
où il faudra remplacer X^ par c -h Re'f. En faisant, de plus, on aura
Dans cette intégrale, la quantité sous le signe/ est finie en tout point du contour, puisque le point z est intérieur à Taire. Donc l'intégrale a toujours une valeur finie. D'autre part, le facteur
I — j t en dehors du signe fy est infiniment petit pour n infiniment
grand. On en conclut ce théorème :
Pour qu'une fonction f[z) soit dés^eloppable suivant les puis^ sances entières et positives de la différence z — c, il suffit que le point z soit intérieur à un cercle décrit du point c comme centre.
a8a LIVRE VI. — ghap. i, | v.
avec un rayon tel que la fonction f[z) soit uniforme et continue en tout point intérieur à ce cercle.
En d'autres termes, il suffit que le module de z — c soit moindre que la distance du point c au point le plus voisin de c pour lequel la fonction cesse d'être uniforme et continue*
Le cercle décrit du centre c et passant par le point de discontinuité le plus voisin de c s'appelle le cercle de convergence de la série.
H42. Si l'on a c= o, alors la série (3) représentera le développement de la fonction /(^) suivant les puissances positives et entières de la variable z, et elle contiendra, comme cas particulier, la série de Maclaurin.
Le cercle de convergence, qui aura pour centre l'origine, aura pour rayon le module de la plus petite racine de l'équation y(z) = oo , la fonction y( s) étant supposée uniforme à l'intérieur de ce cercle.
1143. Le théorème de Cauchy fournit immédiatement la condition pour qu'une fonction /(jc) d'une variable réelle soit développable en série convergente suivant les puissances entières et positives de la différence x — c, ou de la variable x. On remplacera la variable réelle x par c 4- * ou par z, z étant une variable complexe, et l'on cherchera la racine de plus petit module de l'équation y'(c +«) = oo ouy(z) = 00 . Le module de cette racine sera la limite supérieure des valeurs numériques de a: — c ou de x pour lesquelles le développement sera possible.
Par exemple, si l'on considère la fonction
traitée au n^ 353, la racine de moindre module de l'équation
r= 00 , OU = O
estz = 2 711. Donc 27r est le rayon du cercle de convergence pour le développement de cette fonction suivant les puissances entières et positives de x.
TIUSORÈMB DE GAUGIIY. 283
Pour le développement analogue de la fonction — r^ — » on ver-
raity soit directement de la même manière, soit en s'appuyant sur les calculs du n® 353, que le cercle de convergence a pour rayon tt. Enfin, pour le développement de Thx ou de tango:, on trouverait pareillement que le cercle de convergence a pour rayon - • Il en est de même pour le développement de séc x.
1144. Supposons maintenant que Ton donne les valeurs d^une fonctiony*(z) pour une suite continue de points formant un élément superficiel ou linéaire, d^une grandeur finie et constante, aussi petite que l'on voudra, et soient CfC', (/^, ... des points de cet élémentvinfiniment voisins. *
Si l'on suppose que la fonction ^(z) doive être monogène, sa dérivée en un point donné sera indépendante de la direction de Taccroissement infiniment petit de z, qui entre dans le rapport différentiel, et l'on pourra toujours supposer que les accroissements de z aient lieu sur l'élémentconsidéré. On connaîtra dès lors, pour z=zc, la valeur de la fonction y(c); puis, pour ce point et les points infiniment voisins, les valeurs de la dérivée première,
puis les valeurs de la dérivée seconde,
et ainsi de suite. En appliquant la formule (8), on obtiendra donc le développement de la fonction suivant les puissances de z — c, et, par suite, on connaîtra toutes les valeurs de la fonction à l'intérieur du cercle de convergence C, décrit du centre c, avec un rayon déterminé par la connaissance du point de discontinuité le plus voisin de c que doive avoir la fonction.
Prenons actuellement pour nouveau centre un point c^ , intérieur au cercle C, mais aussi voisin que l'on voudra de la circonférence de ce cercle, et décrivons de ce centre C| un nouveau cercle de convergence C^, qui comprendra, en général, des points du plan exté-
'JtS4 LIVRE VI. — Cil A P. I, § V.
rieurs au cercle C. On obliendra alors un nouveau développemenl suivant les puissances de z — C|, qui fera connaître toutes les valeurs de la fonction pour tous les points de Tintérieur de C|.
En prenant, de même, pour troisième centre un point c^ intérieur à Ci , on obtiendra un nouveau cercle de convergence Ca, qui comprendra une nouvelle porlion du plan, et, au moyen du développement de la fonction suivant les puissances de z — C2, on pourra calculer toutes les valeurs de la fonction à l'intérieur de C2.
En continuant de cette manière, on pourra embrasser dans Tensemble de ces cercles tracés entre les points de discontinuité tous les points z du plan que Ton voudra, et alors, pour chacun de ces points, on aura un développement de la fonction donnée en série convergente. On aura même plusieurs développements pour les points qui seront intérieurs à la fois à plusieurs cercles de convergence.
On voit par là que, si l'on connaît 1° toutes les valeurs de la fonction aux divers points d'un élément quelconque, auperficielou linéaire, 2^ les positions des points de discontinuité de cette fonction, et 3° si l'on impose à cette fonction la condition d'être monogène et uniforme, cette fonction sera complètement déterminée dans toute l'étendue du plan.
1145. Si la fonction y*(z) doit rester constante dans l'élément considéré, alors, pour deux points infiniment voisins c, c' de cet élément, on aura rigoureusement /*((;) =y(c'), et par suite
et de même/'(c') = o, d'où/"(c) = o, et ainsi de suite. Si Ton prend maintenant le point c comme centre du cercle de convergence, la formule de développement (3) se réduira à
quelque grand que soit /i, et, comme il,i est infiniment petit pour n infiniment grand, il en résulte que l'on a rigoureusement
f{z) =/{c) i=const.
dans toute l'étendue du cercle de convergence.
THEOREME DE GAVGHT. 285
En raisonnant maintenant comme dans le numéro précédent, on étendra successivement la démonstration à tous les points du plan.
Donc une fonction uniforme et continue à l'intérieur d'une aire Z ne peut rester constante dans l'étendue d'un élément fini quelconque, superficiel ou linéaire, aussi petit que l'on voudra, à moins que cette fonction ne se réduise à une constante dans toute l'étendue de l'aire.
Il en résulte immédiatement que deux fonctions uniformes et continues ne peuvent être égales dans toute l'étendue d'un élément fini sans l'être dans toute l'étendue de l'aire.
Remarque, — Les zéros (et les infinis) d'une fonction doivent être nécessairement isolés; car, s'ils étaient infiniment rapprochés, ils formeraient un élément continu, sur lequel la fonction présenterait une valeur constante, et l'on en conclurait alors, d'après ce qu'on vient de démontrer, que la fonction devrait rester constante dans toute l'étendue du plan.
Un infini de première espèce ne peut être non plus à une distance infiniment petite d'un zéro, car alors l'inverse de la fonction serait discontinu en ce point, aussi bien que la fonction elle-même, et l'infini ne serait plus de première espèce.
1146. Dans l'évaluation des intégrales qui représentent les coefBcients ^12 [1141], on peut substituer au contour du cercle de convergence celui d'un cercle de même centre et de rayon moindre, et la valeur d'un coefficient quelconque
n'en sera pas altérée. On voit donc que cette intégrale est indépendante de la valeur du module R, tant que ce module n'atteint pas le rayon du cercle de convergence .
1147. Jliéorème de Laurent, — Supposons maintenant que la fonctiony(2) soit uniforme et continue dans l'espace annulaire renfermé entre les contours de deux aires ^, a, intérieurs l'un à l'autre. Si l'on parcourt les deux contours dans le sens direct
286 LIVBE VI. — CHAP. I, § V.
relativement aux deux aires ^ et a comprises dans l' intérieur de ces contours, le sens direct relativement à Taire a sera le sens rétrograde relativement au contour intérieur de Taire doublement connexe 3 — a, et Ton aura ainsi, pour Tintégrale d^une fonction quelconque,
Si donc z est un point de Taire annulaire 3 — a, on aura, au lieu de la formule (4) [1133], la formule
d'où, en différentiant par rapport k z [1135],
1148. Supposons maintenant que les deux contours soient deux cercles de centre commun c et de rayons R et r. En faisant ^ = c* H- Re'?, nous aurons identiquement
= 27r/ [iTo -4- /ij (« — c) -+- . . 4- fl/,-! [z — c )«-* 4- a„],
où Ton a posé
Pour la seconde intégrale de la formule (4), on a identi-
THEOBEMB DE LAURENT. 287
quement
(!: — c)"'-» i^ — cY" 1
d^où, en faisant il vient
OÙ Ton a posé
'fil / *'
Le point z = c -f- re'P étant situé en dehors du cercle de rayon r, on a - -<[ 1 , et Ton en conclut, comme on l'a déjà fait pour Texpres-
sion de O,,, que ci)^ est infiniment petit pour m infiniment grand.
Donc, si f[z) est une fonction uniforme et continue dans l'aire comprise entre deux cercles de centre commun c et de rayons r ei R, cette fonction sera déifeloppable en une série convergente, ordonnée suivant les puissances entières, positives et negativ^es, de la différence z — c, et dans laquelle le coefficient a±x de la puissance [z — c)-* est déterminé par les formules [5) et (6).
Remarquons que l'on peut réduire à une seule les formules qui donnent les coefïîcients d'indices positifs et ceux, d'indices néga-
ji — ^aVï reste la même, quel que soit
288 LIVRE VI. — CUAP. I, § V.
le contour fermé (tracé à Tintérieur de Taire ;2l — a et n'entourant qu'une seule fois le cercle a) le long duquel on prenne cette intégrale. On peut donc la prendre indifféremment soit le long du cercle extérieur, soit le long du cercle intérieur, soit le long d'un cercle intermédiaire quelconque de rayon p^t et <[R- D'après cela, dans les valeurs (5) et (6) de Uk et de a-k^ on pourra remplacer R et r par p, et l'on aura, pour toute valeur positive, nulle ou négative de l'indice A",
1149. Si la fonction f{z) est uniforme et continue en tout point du cercle intérieur a, on pourra diminuer autant que l'on voudra le rayon de ce cercle sans qu'il s'introduise un infini dans la partie annulaire, et alors le point z pourra toujours être consi-
déré comme extérieur à ce cercle. Donc la fonction ^ de la
variable ^ sera uniforme et continue en tout point de Taire a, et,
par suite, l'intégrale / — ^ sera nulle. Avec cette intégrale s'é-
vanouira la partie du développement qui contient les puissances négatives de ^ — c, et Ton retombera sur le théorème de Cauchy. Si Ton suppose, au contraire, la fonctiony(3) uniforme et continue pour tous les points en dehors du cercle extérieur, on pourra donner au rayon R de ce cercle une valeur infiniment grande. Mais alors, dans l'expression de Q>n donnée par la formule (5), f{^) convergeant vers tfne valeur nulle ou finie, l'intégrale
ne deviendra pas infinie, tandis que le facteurf — j tendra vers
zéro, quelque soit/i. Donc, à la limite, £in sera nul, et il le sera, en particulier, pour « = i . La partie de la série correspondante aux puissances positives de ^ — c se réduira à son premier terme
THÉORBMB DE LAURENT. 289
lequel s^annulera lui-même si y(oo ) = o. Alors le développement ne contiendra que des puissances négatives de ^ — c.
Exemple. — Considérons la fonction
où Ton suppose le module de Cf moindre que celui de c^» Si Ton décrit deux cercles €(, C^» ayant pour centre l'origine et passant par les points C| et 02, f{^) sera uniforme et continue dans rintérieur du cercle €, , Donc, pour toute valeur de z intérieure à ce cercle,y(z) sera développable en une série ordonnée suivant les puissances positives de z.
Dans l'intervalle des deux cercles, la fonction sera développable» par le théorème de Laurent, en une série contenant à la fois des puissances positives et des puissances négatives de z.
Enfin, pour une valeur de z extérieure au cercle €2, la fonction f{z) sera uniforme et continue, quelque grand que soit le module de z. Le développement ne contiendra donc plus que des puissances négatives de z, le terme constant étant nul, puisquey*(oo ) est égal à zéro.
1150. Le théorème de Laurent est un cas particulier d'une formule plus générale.
Soient Cf, C2, . . ., c^ les points de discontinuité de la fonction uniforme y(z) renfermés dans l'aire 3, et supposons que l'on ait tracé dans cette aire un cercle €, de centre quelconque c, qui renferme dans son intérieur tous ces points de discontinuité. Décrivons, de plus, de ces points comme centres, des cercles €«, C2, •.., €,», assez petits pour être tous extérieurs les uns aux autres et intérieurs au cercle €.
La fonction y (z) sera uniforme et continue dans tout l'espace
H = € — (or, 4- €, -h . . . -f- €jt)
compris entre tous ces cercles, et, si z est un point quelconque de cet espace i0, il viendra
H. — Cours de Calcul in fin., III. 19
ago LIVRE VI. -— CHAP. I, 5 V.
Or on aura^ comme au n^ 1147,
De plus, dans / , le module de t — c étant plus grand que
Je
celui de z — c, on en conclura, comme au n° 1140,
H;, étant infiniment petit pour n infini, et chaque coefBcient aj^ étant donné par la formule
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Dans / , au contraire, le module de ^ — ca étant plus petit que celui de z — c^i, on en conclura, comme au n® 1148,
o),,» étant infiniment petit pour m infini, et chaque coefficient a^^^ étant donné par la formule
Comme on peut prendre les rayons des cercles Ca aussi petits que Ton voudra, il s'ensuit que, pour tout point z pris à Tintérieur du cercle € et autre que les points de discontinuité, on pourra développer la fonction y(z) en une série convergente, ordonnée suivant les puissances entières et positives de la différence z — c et suivant les puissances entières et négatives des différences
TIIÉOAÉIIE D£ LAURENT GÉNÉRALISE. 291
de sorte que Ton obtiendra un développement de la forme
