OU ELLE DEVIENT NULLE OU INFINIE

115â. Indice d'une /onction en un point donne'. — Nous avons vu que toute fonction y*(x), uniforme et continue dans l'intérieur d'une aire 3, peut se mettre sous la forme

c étant un point quelconque de cette aire, et les coefficients a/,,

29) LlVKE VI. — CHAP. I, § VI.

ainsi que le terme complémentaire Un, étant déterminés par les formules du n® 1140.

Si Ton suppose que le point c soit un zéro de la fonction, alors le premier terme ao=f{c) du développement s^annulera, et il pourra en être de même pour un ou plusieurs des coeflicients consécutifs suivants a^ , as, .... Mais il y aura nécessairement quelqu'un de ces coefGcients qui différera de zéro, sans quoiy(z), se réduisant à Q.„, serait infiniment petite pour n infiniment grand, et par suite devrait être rigoureusement nulle dans toute l'étendue de Taire 3.

Soit am = /^'"^c:) le premier coefBcient du développe-

ment qui ne s'annule pas. La valeur dey(z) pourra s'écrire sous l'une ou l'autre des deux formes

/(z) = n„,. /(2) = /»,„(s-c)"' + n,„+„ d'où l'on tire

(ï-c)'" air/ J3(Ç-c]"'(Ç-2)'

La première de ces deux expressions montre que la valeur du

rapport r-^ — est finie, quel que soit le point z pris dans Tin-

térieur de Taire Z. La seconde montre que cette même valeur se réduit à am pour z = c, et par suite qu'elle ne s'annule pas au point c.

Donc, $if[z) est une fonction uniforme et continue dans l'intérieur de l'aire Z, et ne s' annulant qu'au seul point c de cette aire, il existera toujours un nombre m, entieh et positif, tel que

la limite du rapport \^^^ » pour z = Cy sera Jinie et différente

de zéro.

Il s'ensuit de là que la fonction

ÉTUDE D*UNE FONCTION AUTOUR d'uN ZBRO'OU d'uN INFINI. 298

sera uniforme, continue et différente de zéro pour tous les points de l'aire ;2l.

Cet exposant m, qui est I^ndlce de la première des dérivées f {^)j f" {^)} ' - ' qui ne s'annule pas au point c, s'appelle V indice delà fonctiony(z) au pointe. Cet indice exprime Tordre infinitésimal àe f[z) pour z — c infiniment petit du premier ordre.

D'après cela, la fonction ^(2) pourra toujours se mettre sous la forme

g{z) étant une fonction de r, uniforme, continue et difi'érente de zéro dans toute l'étendue de l'aire 3.

1 153. Supposons maintenant que la fonction f[z) soit uniforme, continue et difi'érente de zéro dans toute l'étendue de l'aire 2iy

excepté au point c, où elle devient infinie. La fonction -ri— sera

uniforme, continue et difilérente de zéro dans toute l'étendue de l'aire :2l, sauf au point c, où elle s'annulera. Donc, en vertu de ce qui vient d'être dit, on pourra poser

gi (z) étant une fonction uniforme, continue et différente de zéro dans toute l'étendue de l'aire 3i, et fi un nombre entier et positif. Or l'inverse de gi{z)y

jouit évidemment des mêmes propriétés que gri(s). Doncy(5), qui a un infini en c, pourra se mettre sous la forme

g{z) désigpaant une fonction uniforme, continue et difi'érente de zéro dans toute l'étendue de l'aire Z^ et n étant un nombre. entier et positif.

Enfin, si /{z) n'a ni zéro ni infini dans l'intérieur de l'aire Z, on pourra, par analogie, la mettre sous la forme

g{z) étant une fonction de même nature que précédemment.

agi LIVRE VI. — chap. i, § vi.

Donc enfin, si une Jonction /{z), uniforme dans toute l'étendue de l'aire 3i, est en même temps continue et différente de zéro dans toute cette étendue, sauf peut-être au seul point c, oà elle pourra des^enir nulle ou infinie, on pourra mettre toujours cette fonction sous laforme

{.) /(*)=(^-c)"'ff(^).

g{z) éfant une fonction uniforme, continue et différente de zéro dans toute l'étendue de l'aire ;2l, et m un nombre entier^ positif nul ou négatif, exprimant l'ordre infinitésimal [186] de la fonction f{z) dans le voisinage du point c. Ce nombre m s'appellera, dans tous les cas, Vindice de la fonction y(z) au point c.

1154. De Téquation (i) on tire

N /'{'] = {'- cy'-'[{z-c] g' {z) + m g{z)],

et, comme g:' (z) est finie et continue dans loute l'étendue de ;3 [1136], l'expression entre crochets dans le second membre de (a) sera finie et continue dans toute l'étendue de 3, et différente de zéro pour z= c. Donc l'ordre infinitésimal def{z) en c est égal km — I • Par conséquent, l'indice de la dérivée d'une fonction nulle ou infinie pour z = c est égal à l'indice de la fonction, diminué d'une unité.

Cette règle ne s'appliquerait plus au cas de m = o.

Il résulte de là que, si une fonction uniforme est infinie en un point Cf toutes ses déri\fées sont infinies en ce même point [383].

1155. Connaissant les indices de plusieurs fonctionsy*i , fy . . . , on pourra trouver aisément l'indice d'une fonction rationnelle quelconque de ces fonctions, laquelle sera formée au moyen des trois opérations d'addition (comprenant la soustraction), de multiplication et de division.

Soient mi , m2 les indices, relatifs au point c, des deux fonctions

f\if^^ continues et différentes de zéro en tout autre point de

l'aire ;2l, et soient ai, a^ deux constantes qui ne sont ni nulles ni

infinies. La fonction

pourra, suivant ce. que nous venons de voir, se mettre sous la

ETUDE d'une ponction AUTOUR D*UN ZÉRO OU D*UN INFINI. îqS

forme

F = û, (z - c) '««g^, 4- û, (z - tf )'".^„

gi 7 g2 étant deux fonctions continues et différentes de zéro en tout point de Taire 3i.

Soit maintenant [jl un nombre entier et fini quelconque, tel qu'aucune des deux sommes /m -f- m, , f/. 4- /W2 ne soit négative. En multipliant les deux membres de l'égalité précédente par (z — c)«*,

il vient

(z — c^F = a, [z -- c)^-^'">gi -4- «, (3 — cy-^^'^gt.

Chacun des deux termes du second membre étant une fonction uniforme et continue dans le voisinage du point c, il en sera de même du premier membre

Or ce produit est lui-même d'un certain ordre v, de sorte que l'on a, y étant entier et G désignant une fonction uniforme, continue et différente de zéro,

Donc

et, par suite, F est une quantité de l'ordre entier, positif, nul ou négatif, v — a.

La fonction F, si v — |ul]>o, ou son inverse-» si v — /^<Co>

sera continue dans le voisinage de c. Donc le point c est un infini

de l'une des deux fonctions F, -> et l'autre sera alors finie et con-

tinue dans le voisinage de c. Donc la fonction F sera continue, ou du moins elle n'aura que des infinis de première espèce.

F pourrait s'annuler en d'autres points d« 7i que le point c. On dirait alors pour ces points ce qu'on vient de dire pour le point c. Les zéros de F, autres que le point c, seront nécessairement isolés les uns des autres, comme cela résulte de ce que nous avons vu au D? 1144, à moins que la fonction F ne se réduise identiquement à zéro.

1156. Les fonctions pourront s^écrire sous la forme

'^ ^ ^ gt

g\ 'g2 et ~ étant des fonctions uniformes, continues et différentes

de zéro en tout point de Z, <f ely^ auront au point c pour indices respectifs rrit 4- mj et mi — ma. En tout autre point de :3l, 9 et ^ seront continues et différentes de zéro. Ces fonctions présenteront donc le même caractère queyi et^i, savoir, d'être uniformes et continues dans toute Tétendue de !^, à l'exception du point c, où elles peuvent avoir un infini.

Plus généralement, si l'on considère une fonction de la forme

les fonctions

fl-» f\y • • • » //> ?1» ?1» • • • » ?A:

ayant au point c les indices respectifs

/Wi, m,, . . . , /wy, Pi, ^,, . . ., ^jt>

l'indice, au même point, de la fonction proposée sera

Le caractère des fonctions uniformes, continues et difi'érentes de zéro, à l'exception d'un nombre limité de zéros et d'infinis isolés, ne se perd donc pas, lorsque l'on combine les fonctions par addition (ou soustraction), multiplication et division, de manière à en former une fonction rationnelle quelconque.

DEVELOl'PEMENT D UNE FONCTION AYANT DES INFINIS. 397