II. Soient les équations

(3-D?)x + 4j = 3, .v-^[i-^nD})j- — — S.

On remplacera d'abord les seconds membres par zéro, et, en posant

an aura les équations

=: O, OU r* — 2/^* 4- 1 = o.

ce qui donne les deux racines doubles r = ±i. On a ensuite

d'où

Or ^ / - ' ^,,

Mettant pour r ses valeurs it i , on en conclut les valeurs des quatre systèmes d'intégrales particulières qui forment les intéin^les générales

Pour avoir maintenant un système d'intégrales X, Y des équa-

a6 LIVftB IV. — CHAP. V, § IV.

lions complètes, nous prendrons X = o, d'où les équations

?i (o) 5 + xi (o)'î = «1» ?î(o) ; + xt (0)13 = «î.

c'est-à-dire ici

d'où X == ^ = — 23, Y = X = 18. On a donc enfln, pour les intégrales générales des équations complètes,

— x(»)— 23, j=rjW-f-i8.

953. II. Méthode de Lagrangc, ou méthode de la variation des constantes arbitraires. — Soient les équations complètes

et désignons par

les intégrales générales des équations (i) où l'on aurait remplacé les seconds membres par zéro.

Proposons-nous de satisfaire aux équatiens-(i') par des valeurs de Xjjy ... de même forme que les valeurs (2), mais dans lesquelles Co C2, . . . désigneront, non plus des constantes, mais des fonctions- de t convenablement choisies.

Les conditions (i) sont au nombre de //, et les inconnues C|, C2>- . . au nombre de /t -f- mo -+-..= N. On pourra donc disposer

à volonté de

d'entre elles, ou, ce qui revient au même, assujettir les inconnues à N — // conditions arbitraires, que l'on choisira de manière à simplifier autant que possible le calcul. Pour cela, on fera en sorte que le calcul se rapproche autant que possible de ce qu'il serait si les quantités C|, Co, . . . étaient des constantes.

Nous poserons, en conséquence, C} étant la dérivée -—3 X = 2 C/jr,-, jr — 2C/J/,

en prenant pour conditions arbitraires les suivantes :

//j 7 2c;ar;=:o, 20;.// = O,

2cr,:r/-'i=o, 2c;.y,'"-*)zz=o

La substitution de ces valeurs dans les équations (i) donne, en désignant par a*/*^, a5/'\ ... les coefficients de DJ» dans (pi(Df), ?s(Dr)9 • • • 9 et de même pour les autres,

(5) { a^i^^lCi x^/^-'^ -4- 6';"«» 2C;rl^"«-'' -H . . . = ï„

équations qui, jointes aux équations (4)i forment le nombre d'équations nécessaire pour la détermination de C'^ , C!,, . . . ,0'^. De ces dernières quantités on déduira ensuite C|, Co^ . . . , Q^ par des quadratures.

En particulier, si Ton donne les équations du premier ordre à coefficients constants

(«j -4- a\Vt)x + ^j j -f- . . . -- ïj,

les intégrales particulières Xi,yiy . . . sont [950] de la forme ^le^'S lî/e^/', . . . , et les équations ( 5 ) deviennent

SI Ton fait

T, ^R T, ^R **/■ — "~; TV '"'" 77 — î~

on aura, dans le cas où les racines Ti, /'o, ... sont inégales,

C'. ^= r. '•z' ^ , d'où (; = Ci -^ Cc-n' ^ r/r, (it par suite '

9o4. Exemples, — I. Reprenons l'exemple I du n® 952 :

(4-t-D,).r-4-3jr^/, 2.r-4- (5 + Df)j~c'.

Ses intégrales seront de la forme

D'après cela, les équations (5) qui serviront à déterminer Ci et C^ seront

Se--*' C'i -4- 3^-"' C^^t, — 2e-»' C, -4- 3e-"' Cj = e', ou

Cl, ^. l ; /e^' - e^' ), (T, = i e«' 4- -^ ^e"'

i;t par suite, C|, Co étant des constantes arbitraires,

20 i5 io no-} ^ ' '

Substituant ces valeurs dans les expressions do x et de y y on retrouvera les mêmes valeurs que précédemment.