NOMBRE DES RACINES D'UNB ÉQUATION DANS UNE AIRE

présente au point b sur le nombre des^ variations que la même suite présente au point a.

La démonstration est la même que pour le théorème relatif aux racines réelles. On fait voir qu'un changement de signe de Tune des quantités V, Vo . . . n'a pas d'influence sur le nombre des variations. U et V ne peuvent pas changer de signe en même temps. Donc, si u = 0 pour t=zc, on aura à considérer les cas suivants^ e désignant un accroissement compté positivement de a vers b :

c' + el —

Dans le premier et le quatrième cas, — passe de -f- à — ; donc,

dans le passage par le point c, v augmente d'une unité, et en même temps il se produit une variation de plus, de sorte que l'accroissement du nombre des variations donne bien l'accroissement de

Dans le deuxième et le troisième cas, ~ passe de — à -f-, i/ croît

d'une unité, et par suite v — 'J diminue d'une unilé. Mais en même temps le nombre des variations diminue aussi d'une unité. Donc le théorème continue à subsister. Or, comme il ne peut y avoir de changement dans le nombre des variations que lorsqu'on passe par un point c, le théorème est complètement démontré.

1172. Pour mettre en pratique cette méthode, prenons pour contour celui d'un rectangle dont les côtés soient parallèles aux axes coordonnés, et qui ait pour abscisses extrêmes x^ et X et pour ordonnées extrêmes j',^ et Y, en supposant

Le contour se composera de quatre parties :

C correspondant à jr^^zy^^ depuis x=ix^ jusqu'à x

x = x, » r=jo ■ y

» X — Xo, • j =Y » )

Ainsi, dans chacune des quAtre portions, U et V ne dépendront que d'une seule variable, savoir, de x pour G et C^, dej- pour G'

et a^

Si l'on veut obtenir toutes les racines d'une équation, on emploiera d'abord la méthode connue de Sturm pour trouver les racines réelles

On divisera ensuite y(z) par le produit

ce qui donnera une équation 9(2)= o qui n'aura plus de racines réelles situées sur l'axe des x. On prendra ensuite cet axe luimême pour un des côtés du rectangle. En faisant d'abord

on obtiendra le nombre des racines complexes x -H ij' pour lesquelles le coefiicient j* de i est positif; puis, en faisant

on trouvera de même le nombre des racines complexes dans lesquelles le coefficient de 1 est négatif.

On partagera ensuite le plan en bandes par des parallèles à l'axe des x; puis on subdivisera, par des parallèles à l'axe des^, chacune des bandes qui renfermeront des racines. De cette manière, les racines se trouveront resserrées dans des limites assez étroites pour qu'on leur applique la méthode d'approximation de Newton.

Ici, comme dans la recherche des racines réelles, il n'est pas absolument nécessaire que l'équation soit réduite à n^avoir plus que des racines simples. Gependanl il y a naturellement avantage à commencer par l'application de la méthode des racines multiples, afin d'avoir à opérer sur une équation plus simple.

Il est facile de déterminer les racines imaginaires pures, qui sont les racines communes aux deux équations

tt(o, j)i=o, v[o,x)=o,

et qui s'obtiendront en égalant à zéro le facteur commun à ces deux équations. Après avoir supprimé ces racines, on partagera le plan en quatre parties correspondantes aux quatre angles des axes coordonnés.