DÉVELOPPEMENT EN SÉRIES PÉRIODIQUES

névBLOPPEM«NTDES FONCTIONS SYNBCTIQUES EN SÉRIES PÉRIODIQUES.

1173. Du théorème deLaurent, démontré au n^ 1148, il résulte que, siy*(z) est une fonction synectique de z^ dans l'intervalle compris entre deux cercles concentriques de centre c et de rayons Ro et R|, on pourra développery(z) en une série convergente suivant les puissances entières, positives et négatives, de la diflférence z — c. On aura de cette manière

ou, en posant z — c = re'P^

à f[c H- /v'^ ) = If 0 H- fl, re^P -\- a^i^e^'P -{-..• ^ ' ^ f H- a, ;-« <r-'P -f- ««, i-» c"»'^ H- . . . ,

le coefBcient an d'indice quelconque étant donné par la formule générale

OÙ p représente une constante positive quelconque comprise entre Ro et R| .

Si dans le second membre de (1) on remplace l'argument;; par p + aAîT, A" étant un nombre entier arbitraire, ce second membre ne changera point de valeur. Donc, ce second membre est une fonction périodique de l'angle /?, et, par conséquent, il doit en être de même du premier membre tant que l'égalité (i) subsistera. C'est d'ailleurs ce qui résulte immédiatement de la supposition de l'uniformité de la fonction /(z) dans l'intérieur de l'aire considérée; car, de ce que Ton a

il résulte alors que

/(c-h/tr'>)^/(6-4-nr'(/'+«*-)),

c'est-à-dire que, si l'on considère d^ns f{c -^ re^P) l'argument/;

lO LIVAE VI. — CHAP. Il, § II.

comme seul variable, et qu'à ce point de vue on représente cette fonction par F(/7), on aura

Ainsi une fonction synectique d'une variable complexe r&P de module /* constant est toujours une fonction périodique de l'argument p de la variable, la période étant aTi [366].

1174. On peut donner au développement (i) la forme d'une série trigonométrique , en remplaçant les exponentielles imaginaires par leurs valeurs en cosinus et sinus, et, si l'on pose

il vient

Y[p)=. -«Q H- «4 COS/? -h «1 COS2/? -4- . . .

--h Pi sin j» -f- S, sin 2/? -f- . . . .

On voit aisément que, si F(/>) est une fonction paire de /; [288], le développement devra se réduire à sa première ligne et ne contenir que des cosinus. Si, au contraire, F(/7) est une fonction impaire de p, le développement se réduira à sa seconde ligne et ne contiendra que des sinus.

1175. Dans le cas où le module r est constant, on peut le supposer, ainsi que p, égal à l'unité. La formule (i) devient alors

la valeur générale d'un coefficient de cette série étant

Le terme général de la série peut s'écrire, en faisant passer le facteur e"'^ sous le signe d'intégration,

'^^ Jo

En réunissant les termes qui correspondent à des indices égaux