séca = fj' d\ séc a, ou niz

valeur indépendante de a. Il en serait de même pour la valeur de Ç. Donc le lieu des centres de gravité de toutes les sections planes d'un cylindre est une droite parallèle aux génératrices.

Cela posé, cherchons le volume compris entre la section droite et une section oblique quelconque X'. Prenons le plan des xz perpendiculaire au plan de X', et par suite l'axe des jr parallèle à ce plan. Si l'on décompose X' en éléments rectangulaires infiniment petits du premier ordre, parallèles à l'axe des y, et se projetant

!l6o LIVRE riL — CIIAP. III, § IV.

sur le plan des xy suivant des rectangles ^A, le volume sera donné par rinlégrale fzdk. Or le moment de la section V par rapport au plan des xj est f zdk' ou J zdtk séca = a'J" =: ÇX séca, \ étant l'ordonnée du centre de gravité de cette section. Donc

J%d\^:z'0'Z=:z\t volume du cylindre tronqué.

Donc ce volume est égal au produit de la section droite par la dislance des centres de gravité des deux bases. On étendrait immédiatement cette proposition au cas où les deux bases seraient des sections quelconques.

On voit que le volume d'un cylindre n'est pas altéré lorsque l'on fait tourner d'une manière quelconque une de ses bases autour du centre de gravité de cette base.

768. Si l'on considère maintenant un corps solide quelconque, la masse de l'élément de volume étant pdxdjdz, les coordonnées du centre de gravité seront données par les équations

"Sll^fff^xdrdfdz, ^U^fffoxdrdydz, MK^fffpzdxdrdz,

M étant la masse totale du corps.

Si le corps est homogène, V étant son volume, on aura M = VjO, et la constante p disparaîtra des équations précédentes. On pourra, dans ce cas, effectuer immédiatement l'intégration par rapport à l'une des trois variables, à ;; par exemple, et l'on aura, z et Z étant les ordonnées de la surface inférieure et de la surface supérieure du corps.

769. Moments d'inertie, — On appelle moment d'inertie d'un point matériel /«, par rapport à un plan, à un axe ou à un point, le produit de la masse de ce point m par le carré de sa distance au plan, à l'axe ou au point. Le moment d'inertie d'un sjstème est la somme des moments d'inertie des points matériels qui le composent.

Si l'on rapporte les points à trois axes rectangulaires, les mo-

MOMENTS d'inertie. a6i

ments d'inertie d'un point m par rapport aux plans des yz, des zx et des xj seront mx^y ^J^^ mz^, et par suite les moments d'inertie du système total par rapport à ces mêmes plans seront

a=2wj:', b = 2mj*, c=:2/nz'.

Le moment d'inertie de m par rapport à l'axe des x est

Donc, le moment d'inertie du système par rapport à cet axe sera

2mj'H- 1mz^=z b -f- c,

et de même pour les autres. On aura donc, pour les moments d'inertie du corps par rapport aux trois axes coordonnés,

A=b-f-c, B = c-4-a, C=:a-hb.

De même, le moment d'inertie du système par rapport à l'origine des coordonnées sera

an- b -f- 0= - [A-i- B H- C).

Si le système est continu, les sommations se changent en intégrales.

770. On traitera les divers cas qui peuvent se présenter dans la détermination des moments d'inertie comme nous avons traité les cas analogues dans la détermination des centres de gravité.

Ainsi, pour le cas d'un système plan, on a

a :=:: fx^dm^ b =: Jj^dm^ = o,

d'où

A=:ib, B — a, C=i:a-i- b=/(.r«-f j*)rfm.

Si l'on cherche les moments d'inertie d'une sphère homogène, on a

J x^dm ziz fy^ dm =r fz^ dm z=l - f (x* H- j* -f- z* ) dm. Or, en faisant x^ -h-J^ -^ z^=ir^ et supposant la densité =^ i , l'élé-

SU5a LIVBB III. — CHAP. III, { IV.

menl dm sera une couche sphérique 4^r^dr, d^où

a = b = c=^/r*^r.:=^R»=iMR«,

M étant la masse de la sphère, R son rayon. On aura donc

Pour un cercle homogène,

d'où

A 1- B ^ i C -= i MR«.

Sî Ton suppose une surface de révolution autour de Taxe des X, j^ = /'(x) étant Téquation de la courbe méridienne, le moment d'inertie de Taire par rapport à Taxe de révolution sera

A =1^ 7.itfy^ds.

Par rapport à un plan mené par Torigine perpendiculairement à cet axe, le moment d'inertie sera

a = 7.T fx^yds.

Le moment d'inertie par rapport à un axe quelconque mené dans ce plan par l'origine sera, à cause de A = ab == ac,

Birrc -ha

= 27r i i-x^-^ xAyds.

Les quantités analogues pour le volume de révolution seront