CENTRES DE GRAVITÉ

au même axe (ou au même plan) et par S m la masse totale du système, on devra donc avoir

équation qui fera connaître \.

En considérant les moments d'un système par rapport à trois plans rectangulaires entre eux, on aura donc, pour les coordonnées ^, >?, ^ du centre de gravité, les expressions

Si le système est continu, on prendra pour les points matériels m les éléments infiniment petits dm de la masse du système, et les sommes des moments de ces éléments se calculeront, comme la masse totale, au moyen d'intégrations.

Lorsqu'un système est homogène, la densité constante entre en facteur commun dans toutes les sommations, et disparaît, par conséquent, des valeurs de Ç, tt, 1^. On peut donc, dans le cas de l'homogénéité, remplacer partout les masses par les volumes.

Si un système homogène est symétrique par rapport à un plan (ou à un axe), son moment par rapport à ce plan (ou à cet axe) est nul. Donc ce plan (ou axe) de symétrie contient le centre de gravité.

Sî un système homogène a un centre de figure, le centre de gravité coïncide avec ce centre de figure.

763. Dans un système linéaire, l'élément de masse a pour expression pds [761]. Donc les moments par rapport aux trois plans coordonnés sont fpxds, fpyds, Jpzds, et les coordonnées du «"entre de gravité sont

Si le système forme une courbe plane, située dans le plan des xj, tous les z sont nuls, et par suite ^ = o.

Exemple. — Considérons un arc de cercle homogène, et prenons pour axe des x le diamètre bissecteur. A cause de la symétrie, le moment par rapport à cet axe sera nul, et par suite on aura 17 = 0.

256 LivaB m. — ciiap. m, § iv.

De Féqualion du cercle x- -hj - = a* on tîre

^x = — ■ =1 -dy^ d'où xds =^adjr^ et par suite le moment de l'arc par rapport à Taxe des x sera

I xds= I adjr=z2aj-

D'ailleurs la longueur de Tare est

*-^' adr , r

' -- z= aa arc sin —

On a donc, pour Tabscisse du centre de gravité de l'arc,

2 a' sin — ^ y yn ac

arc sm — a

en désignant par c la longueur de la corde de l'arc s,

76i. Soit maintenant une aire plane homogène ou décomposable en tranches homogènes parallèlement à l'axe des y. La masse d'une tranche étant pydx, son moment par rapport à l'axe des r sera pxydx, et par suite le moment de l'aire totale sera

fp^Xdj;==.^fpXdx,

d'où l'on tirera l'abscisse ^ du centre de gravité. Si l'aire est homogène, on aura simplement

Pour avoir le moment de l'aire par rapport à l'axe des x, remarquons que le moment du rectangle infinitésimal pjdx est égal à sa masse multipliée par l'ordonnée de son centre de gravité. Ce centre, coïncidant avec le centre de figure du rectangle, a pour

ordonnée -j. On en conclut que le moment de l'aire totale par

CENTRES DE GRAVITE. ItS;

rapport à Taxe des a: est

d'où Ton tire yj. Si Taire est homogène,

f -zyz. — — •

Jydx

Exemples, — I. Soit un segment de la parabole j'= lax^ compris entre la courbe et Taxe des .r. En désignant par X Taire du segment, on a

\oa 5

d'où Ton tire

II. Cherchons le centre de gravité d'un secteur circulaire homogène. 11 se trouve d'abord sur le diamètre bissecteur. Si Ton partage ensuite le secteur donné en secteurs ou triangles infiniment petits, le centre de gravité de chacun de ceux-ci se trouvera aux

- de la distance du centre à la circonférence, de sorte que le lieu

de ces centres de gravité élémentaires sera Tare concentrique à Tare du secteur donné, et décrit avec un rayon égal aux -^ du rayon

donné. On est donc ramené à la recherche du centre de gravité d'un arc, problème résolu dans le numéro précédent.

763. Théoreines de Guldin, — I. Nous avons vu que l'intégrale Jyds représente le moment d'un arc de courbe par rapport à Taxe des Xy moment qui est égal au produit sri de la longueur de l'arc par l'ordonnée de son centre de gravité. D'autre part, Taire de la surface de révolution décrite par Tare s tournant autour de Taxe

H. — Cours de Calcul in fin.. Il, I ^

a58 LivBB m. — chap. m, § iv.

des X a pour valeur iizjyds [754]. Donc la valeur de cette aire peut aussi se mettre sous la forme sTryi.j, c^est-à-dire que Taire de révolution engendrée par Tare s est égale à la longueur de cet arc, multipliée par la circonférence décrite par son centre de gravité.

Si, au lieu d*une révolution entière, le plan de la courbe ne décrit qu'une fraction de tour autour de Taxe situé dans ce plan. Taire de la surface et le chemin parcouru par le centre de gravité décroîtront dans le même rapport. Donc Taire de la portion de surface décrite sera toujours égale à Tare de méridien, multiplié par le chemin décrit par le centre de gravité de cet arc.

Ce théorème permet de calculer Taire de la surface de révolution, connaissant le centre de gravité de la courbe, et, réciproquemenl, de trouver le centre de gravité de Tare de courbe, connaissant l'aire de la surface engendrée.

Exemples, — i"* Soient a le rayon d'un cercle, b la dislance de son centre à un axe situé dans son plan. La longueur de l'arc de cercle est 2 ira; la circonférence décrite par son centre de gravité dans la révolution du cercle autour de Taxe est 27ri. Donc Taire du tore engendré a pour valeur

2** Si Ton fait tourner un arc de cercle autour d'un diamètre parallèle à sa corde c, a étant le rayon. Taire de la zone engendrée sera 2 Trac. En l'égalant au produit de Tare s par la circonférence 2 7ryi décrite par son centre de gravité, on retrouvera la valeur

r* = —1 obtenue au n** 763.

766. II. Le moment d'une aire plane X par rapport à Taxe des .r est Xy; =:; - fj^ dx. D'autre part, le volume engendré parla révolution de Taire 1 autour du même axe est V = t: fj^dx. Donc

V = 2 TTIÇ . À,

c'est-à-dire que le volume est égal à Taire génératrice multipliée parle chemin décrit par le centre de gravité de celte aire.

Cet énoncé subsisterait encore si, au lieu d'une révolution en-

CENTRES DE GRAVITE. aSq

tière. Taire génératrice n'avait accompli qu'une fraction de révolution.

Exemples. — i" En appelant a le rayon d'un cercle, b la distance du centre du cercle à Taxe de révolution, on a, pour le volume du tore engendré,

a® Si l'on fait tourner un secteur circulaire de rayon a autour d'un diamètre parallèle à la corde c, le volume du secteur sphé-

rique engendré sera a7ra.c.^a= rira^c. L'aire du secteur est

- as, s étant la longueur de l'arc. Donc, yj étant la distance du centre

de gravité du secteur circulaire au centre du cercle, on a

îx I 1 ne

— Tra'c =1: 27n3. — ^7^, d ou ij = — — »

comme nous l'avions trouvé par une autre voie [764].

767. Volume du cylindre tronqué. — Considérons un cylindre parallèle à l'axe des z, et qui ait pour section droite une aire X tracée sur le plan des xy. Considérons une section plane quelconque, faisant avec la section droite un angle a. L'élément de cette section, qui a pour projection dl sur le plan des xy, aura pour grandeur dans l'espace rfXséca. Le moment de la section par rapport au plan des zx sera donc fy. dl séca. D'ailleurs, l'aire totale de la section est X séc a ; donc on aura