II- ASYMPTOTES REGTILIGNES DES COURBES PLANES

S23. On entend par asymptote rectiligne d'une courbe donnée une droite dont une branche infinie de la courbe s'approche indéfiniment. Supposons d'abord la courbe rapportée à des coordonnées rectilignes.

Évidemment il est indiflerent, dans ce cas, de compter la distance d'un point de la courbe à l'asymptote suivant une perpendiculaire ou suivant une oblique à cette asymptote, pourvu que ce soit suivant une direction faisant avec l'asymptote un dLUgleJini et difi<érent de zéro. On peut donc compter cette distance suivant une parallèle à l'axe des jr, toutes les fois que l'asymptote ellemême ne sera pas parallèle à cet axe.

On est ainsi conduit à distinguer deux cas dans la recherche des asymptotes : celui où l'on cherche les asymptotes parallèles à l'axe des j^, et celui où l'on cherche les asymptotes non parallèles à cette direction.

Remarquons que l'on pourrait ramener le premier cas au second, en échangeant entre eux les axes des x et des^. Et réciproquement, toutes les fois qu'il ne s'agit pas d'asymptotes parallèles à l'axe des x, on pourrait ramener le second cas au premier, en cherchant, par une transformation de coordonnées, quelle direc-

H. — Cours de Cale, infinit., II. 2

l8 LIVRE m. — CHAP. I, § II.

lion il faudrait donner à Taxe des j- pour que la courbe admit des asymptotes parallèles à cet axe.

52 1. Asjwptotes parallèles à taxe des y, — Supposons que le premier membre de l'équation de la courbe se présente sous la forme d'une série, composée d'un nombre fîni ou infini de termes, et ordonnée suivant les puissances décroissantes dej^; et, de plus, qu'aucun des coefficients de ce développement ne devienne infini pour les valeurs particulières de x que nous aurons à considérer. Ce cas comprend évidemment celui des courbes algébriques dont on a ramené l'équation à la forme entière et rationnelle. Soit donc

l'équation proposée, /, ///, . . . élant des nombres, entiers ou non, positifs ou négatifs, mais algébriquement décroissants, de sorte que l'on ait /^ z;/^. . . . Il faut chercher si l'équation peut être vérifiée en attribuant à la fois une valeur finie à Jc et une valeur infinie kj.

Divisons le premier membre de l'équation par la plus haute puissance àe y, ce qui donne

Il est clair que cette équation, dont tous les termes, à l'exception du premier, sont multipliés par des puissances négatives de j*, sera vérifiée, en donnant, d'une part, à x une valeur qui annule le premier termey*! [x) sans rendre les coefficients suivants /i {^)y' • • infinis, et, d'autre part, bij une valeur infinie. On obtiendra donc les abscisses auxquelles correspondent des asymptotes parallèles aux^, en égalant à zéro le coefficient de la plus haute puissance dej.

Étant donnée, par exemple, l'équation du second degré

ajc'^ -H bxy -\- ex -\' djr -^ e =z Oy

on aura l'asymptote parallèle à l'axe desj^, en déterminant x par l'équation bx -f- c^ = o.

Remarquons que, pour qu'une racine de l'équation ^i (x) = o