ASYMPTOTES RECTILIGNES. I

corresponde à une asymptote réelle de la courbe, il faut que la courbe ait une branche réelle dans le voisinage de cette asymptote. Ainsi, la courbe x^j - — ax -h i- = o n'ayant pas de points réels pour .r très-peu différent de zéro, on ne peut pas dire que Téquation X' = o détermine des asymptotes de cette courbe. Cette remarque s'étend aussi aux autres cas de détermination des asymptotes.

525. asymptotes parallèles à Paxe des x. — On verra, absolument de la même manière, que les asymptotes parallèles à Taxe des X peuvent s'obtenir en ordonnant l'équation de la courbe suivant les puissances descendantes de ar, et égalant à zéro le coefficient de la plus haute puissance de cette variable. — On peut, d'ailleurs, faire rentrer la recherche des asymptotes parallèles à l'axe des x dans le cas plus général qu'il nous reste à traiter.

526. Asymptotes non parallèles à l'axe des y. — Nous allons traiter cette question dans la supposition que le premier membre de l'équation de la courbe soit ordonné en une série, finie ou infinie, de groupes homogènes par rapport k x et ky, dont les degrés forment une suite décroissante.

L'équation peut se mettre immédiatement sous cette forme, toutes les fois que son premier membre est une fonction algébrique, entière et rationnelle, de x et de /, ou plus généralement, de puissances quelconques x^yj^ de ces variables. Pour l'y ramener, s'il est possible, dans les autres cas, posons, dans l'équation F(j:,j^) = o, y=ztx, et développons la fonction F(x, fx) suivant les puissances descendantes de x. On obtiendra ainsi un développement de la forme

l,m, n, . . . étant des nombres algébriquement décroissants; et en

mettant pour ^ sa valeur *-» l'équation devient

(0 ''ii)^^^{i)^^''^{z)

Pour qu'une droite, représentée par l'équation

y=:zax-^ b,

10 LITBE III. ~ CBAP. I, { 11.

Kiit asymptote de la courbe, il faut que la différence

entre l'ordonnée j' de la courbe et Tordonnée ax + 6 de la droite, M»it infiniment petite pour x infiniment grand. Or on a, en résolvant la dernière équation par rapport au coefficient angulaire a,

et puisque h-\-t doit avoir une limite finie h pour x = oo , on en conclut

a =z lim - .

On a ensuite, en mettant pour a la valeur constante ainsi déterminée,

b =zjr — ojc — f r= lim fjr — ax).

ci27. Si Ton divise Téquation (i) parla plus haute puissance de y, on a

Cette équation sera satisfaite, si Ton suppose à la fois x infini et lim - égal à Tune des racines de Téquation

que Ton obtient en égalant à zéro l'ensemble des termes du degré le plus élevé, dans lesquels on fait x = i, j' = a.

On suppose ici que Ton a préparé Téquation de telle manière qu^aucuue des fonctions ;f(a),^(a),...ne devienne infinie, lorsqu'on prend pour a une des racines de Téquation (3).

S28. Pour déterminer maintenant l'ordonnée à l'origine b de

l'asymptote, posons j^ — ax= (3, d'où - = a-h -j et considérons

d'abord le cas où a est une racine simple de l'équation (3). On aura, à cause de f (a) = o,

ASYMPTOTES EBGTILIGNES. 21

D'après cela, Téquation (a), multipliée par x^ peut s'écrire sous la forme

(4) j3/(a-H9|) + -jJ^x(« + |)+ •• = <>•

Si la différence / — m entre les degrés des deux premiers groupes de Téquation (i) est plus grande que Tunité, cette équation devient, pour x = co j b = limjS,

et, cp'(a) n'étant pas nul, on a i = o. Donc, dans ce cas, toutes les asymptotes de la courbe qui correspondent à des racines simples de (3) passent par l'origine.

Si / — m == I , il vient alors

Si / — i7i<^i, avec ;f(flr) différent de zéro, l'équation, contenant un terme affecté de la puissance positive j:-^+'»+* de x, donnera, pour X = 00 , i = oo , et par conséquent il n'y aura pas d'asymptote pour cette direction. Tel est le cas que présente la courbe

Mais si x(^) = ^f ®^ q^^ ^(^) ^^^^ ^* première des fonctions ;f(a), ^{a)y . . ., qui ne s'annule pas pour la valeur considérée de a, l'équation deviendra

et l'on en conclura i = o, r; — {y ^ > suivant que / — p sera

5^. Supposons maintenant que a soit une racine double de (3), <f'(a) étant nul et <^'{a) différent de zéro. En poussant alors

jusqu'au troisième terme le développement de cp ( a -f- - j» et multipliant l'équation (li) par x^y il vient

Si / — /y»^ 2, (3* = o, et la double asymptote, correspondante à la racine double de Téquation (3), passera par l'origine. Si / — m = 2, on aura

Si celte valeur est réelle, la courbe aura deux asymptotes distinctes, parallèles entre elles.

Si / — m <^ 2, sans que ;j(a) soit nul, b est infini, et il n'y a pas d'asymptote pour celte valeur de a; mais si y^[a) = o, en développant X (^ "^ ~ ) ' l'équation devient

Si Ton a à la fois / — m^ i , / — /i> 2, i sera donné par une équation du second degré. Si Tune des différences / — m — i, / — n — 2 est négative, sans que x'(^) ^^ ^ (^) s'annulent, il n'y a pas d'asymptote, et ainsi de suite.

On verra de la môme manière que, si a est une racine triple de l'équation (3), la valeur de b, lorsqu'elle est finie, est donnée par une équation du troisième degré, et ainsi de suite.

530. jisymptotes des courbes rapportées à des coordonnées polaires. — Si une branche de courbe infinie a une asymptote rectiligne, alors, pour un point de cette branche infiniment éloigné, le rayon vecteur fera un angle infiniment petit avec Tasymptote, et sera infiniment grand; donc on aura r= ao pour une valeur déterminée a de Tangle /;, et cette valeur sera l'angle de Tasymptote avec l'axe des x. Par conséquent, on aura les directions qui peuvent correspondre à des asymptotes, en cherchant les valeurs a de l'angle p

qui répondent à r = oo .

Fiff. 4i.

Il faut, de plus, que la distance MQ [fig^ 40 ^" point infini-