LIVRE III. — EXERCICES
58. Trouver une courbe telle que l'accroissement de l'angie de la tangente avec
Taxe des x soit proportionnel à Taccroissement de l'abscisse.
59. Trouver la courbe pour laquelle la projection de la tangente sur le rayon
vecteur est constante.
60. Trouver la courbe pour laquelle la podaire de l'origine est un cercle.
Gl. Trouver la courbe qui a une courbe donnée pour le lieu des extrémités de
sa sous-tansente polaire ( Exemples : r = > r = ) ou de
^ '^ \ ' cosp I -t- c co^p I
sa sous-
[S-normale polaire f Exemples : r= —. — ? r = ] •
'^ \ ' smp 1 -t- cos pj
62. Déterminer une courbe, étant donné le lieu du milieu de la normale po-
laire N = ^ • — Cas où ce lieu est une perpendiculaire à l'axe des x,
63. Étant donnée une conique C, trouver toutes les coniques C qui coupent C à
angles droits aux quatre points où elles la rencontrent.
i . Appliquer les théories exposées dans le Chapitre II à l'étude des courbes suivantes :
ax = j' -H 3*, by^ — .r* -h 3'.
rta:=^-h3«, ny = x^.
j^=z x^z^ xy= az.
ax = j)-*, bx= «*.
x^-^ y^ = fl', «V* = ^'' ^* — y^ ^'• [a — xYy^ = jr', a* = J>'2- 07* — a' = ^, y*— a^ — z'^.
2. Développer sur le plan des zr (en développant [7i9J le cylindre qui les projette sur l'un ou sur l'autre des deux autres plans coordonnés) les courbes représentées par les équations
( I ) ax = y*, y^-h z"^ == a^.
(a) af = z^, ax^ = z*.
(3) ax =y*, y* — 6fl*/*-h iia^j^ — 8^^ — 9«*z'.
H. — Cours de Calcul in fin,, II. l8
!174 LIVRB III. — EXERCICES.
3. Courbes décrites à l'aide d*un compas sur les surfaces suivantes :
(2) z^ =z nxY.
(3) Cône oblique à base circulaire.
4. On donne un point A sur Taxe des x^ une courbe /(j, z] = o sur le
des ^z, et l'on prolonge toutes les droites AM menées à cette courbe d'une longueur constante. Équations du lieu des extrémités. — Exemple : ax = 2*.
5. En chaque point d'un cercle, on élève sur le plan de ce cercle une perpen-
diculaire égale à la sous- tangente correspondante, le cercle étant rapporté à deux diamètres rectangulaires. Lieu des extrémités de ces perpendiculaires.
6. Une génératrice d'un cône do révolution, se mouvant uniformément sur la
surface, est parcourue par un point mobile suivant une loi donnée. Étudier la courbe que décrit ce point. — Exemples : i** le point se meut uniformément ; 2'' il a un mouvement uniformément accéléré ; 3"* la courbe coupe la génératrice sous un angle constant.
7. Sur un cône de révolution de 0^,73 de hauteur, on enroule un fil auquel
on donne la forme d'une spirale conique à spires équidistantes, le nombre de ces spires étant de 3o, du sommet jusqu'à la base, et la distance entre deux spires, comptée sur la génératrice, étant de o'",o3. Quelle est la longueur du fil?
8. Lieu des points de contact des tangentes menées d'un point donné sur l'axe
des j^ à la surface ax = j^-t- z*.
9. Une courbe C étant tracée sur une surface donnée, on mène la surface
développable tangente à la surface donnée suivant cette courbe, puis on développe sur un plan la surface développable avec la courbe C. Soient R le rayon de courbure de la courbe C dans l'espace, p le rayon de courbure de celte courbe après le développement, / l'angle du plan osculateur de la courbe dans l'espace avec le plan tangent à la surface au môme point : démontrer que l'on a R = pcosi.
iO. Les lignes de courbure du cône ax'^-i- bjr^ -hcz^^ = sont les génératrices d'une part, et de l'autre les courbes d'intersection du cône avec des sphères décrites du sommet comme centre.
IJ. Un cylindre ayant pour section droite ia courbe /(x,/) = o, une courbe donnée se meut de manière qu'un de ses points décrive l'axe des x et que son plan soit toujours normal à la courbe /(x,j^) = o. Lieu de Tintersection de cette courbe avec le cylindre. — Exemples : Équation du cylindre ajr=^^', équation de la courbe mobile (rapportée à son plan)
bx — 2*.
