ASYMPTOTES RECTILIGNES

ment éloigné M, à la parallèle menée à l'asymptote par l'origine, tende vers une limite finie PQ, qui sera la distance de l'asymptote à l'origine. Celte distance MQ = î a pour valeur rsin(;? — «). Il faudra donc chercher la limite d pour pr=r. x et r = oo de l'ex-

. / X / ^sinfp — a) , , j. 1 pression rsin(;7 — «) =-r[p — a) -j-^ r-^> c est-a-dire la quantité

r/=r lim r[p — a).

531. Pour pouvoir traiter généralement la question, nous supposerons que Téquation entre r et p puisse ôtre ordonnée suivant les puissances décroissantes de r en une série finie ou infinie^ supposition qui revient à celle que nous avons admise [526] dans le cas des coordonnées rectilignes. Soit donc l'équation

rfff[p) -t- r'^xip] -+- '•"^(/^) -f ...--= o,

où l'on suppose l'^ in^ n^ . , ,. De plus, nous admettons que, en multipliant par un facteur convenable, on ait fait en sorte que les coefficients x(p)> 4'(/^)> • • • ^^ deviennent infinis pour aucune des valeurs particulières de p que l'on aura à considérer.

En raisonnant comme nous l'avons fait [524] dans la recherche des asymptotes parallèles à l'axe des y y on voit que Ton obtiendra des valeurs p =. x, qui répondent aux valeurs infinies de r, en posant y(a) = o.

Soit maintenant

et cherchons la limite d de r[p — ») = ''«• On a, en substituant à /? sa valeur a -f- £, et divisant par r'~*,

d.f'{cc + Ot) -t- -j:^^ x(« + s) -+-. . .=^ o.

Cette équation, étant entièrement semblable à l'équation (4) du n^ 528, donnera lieu à une discussion identique, sur laquelle il est inutile de revenir.

Exemple. — Soit l'équation d'une section conique

i -h e cosp =: o.

On a ici

/ = 0, m = — I, f (/>) =:! -f- tf COS/I.

L'équation ç(a) = o donrfe cosa = j valeur inadmissible pour

e<^ I. On a ensuite

valeur infinie pour e = i , finie pour c ]> 1 .

532. Limite de la tangente en un point d'une branche infinie, — Si la tangente à une branche de courbe tend vers une position limite déterminée, lorsque le point de contact s'éloigne indéfiniment, cette position limite sera, en général, une asymptote à la courbe. Nous allons le démontrer pour le cas où Téquation peut être ordonnée suivant les puissances décroissantes de y ou développée en série de groupes homogènes de degrés décroissants, comme nous Tavons fait pour traiter la théorie des asymptotes.

I. Supposons d'abord l'équation mise, comme au n^ 524, sous la forme

On tire de cette équation

Cette valeur devient infinie si l'on prend pour x une valeur Xi, pour laquelle on ait à la fois f [xt ) = o, j' = 00 , en supposant /l{Xi ) différent de zéro. Alors l'équation de la tangente

se réduit à g = oti, et la tangente coïncide avec Tasymptote parallèle à l'axe des^, déterminée au n^ 524.

On traiterait de même le cas où l'équation serait ordonnée suivant les puissances décroissantes de x.

ASYMPTOTES ET LIMITES DE TANGENTES. a5

533. IL Dans le cas d'une tangente limite non parallèle à Taxe des j', la règle de la recherche des vraies valeurs [381] donne, pour j: et^ infinis ,

hm -f- = lim - ; dx X

dy donc , lorsque ~- tendra, pour j: et j^ infinis, vers une limite dé-

€JLJC

le coefficient angulaire de l'asymptote.

Pour l'ordonnée à l'origine de la tangente, on a

terminée, cette limite sera la même que celle de -> c'est-à-dire que

mais, comme -j- n'est jamais égal à sa limite a, mais en dififère

d'un infiniment petit e, on ne peut pas, sous cette forme générale, affirmer que limy]o=Hm[j — (a-i-e)j:] sera toujours égale à l'ordonnée à l'origine de l'asymptote, lim(j^ — ax\ Nous verrons, en effet, qu'il peut exister, dans certains cas, une asymptote, sans que la tangente à la branche infinie tende vers une limite fixe.

Considérons le cas où l'équation peut se mettre sous la forme (i) dun«>526.

On en tire

ou, en retranchant du second membre le produit nul

Ensuite

a6 LivKE m. — CHÀP. i, § ii.

donc

dy àx y x'-'" '^ \x/ "^

Si donc - tend vers une limite finie a, qui ne rende infinie au-

cune des fonctions x(^)> • • • > ^^ 9^^ n'annule pas cy'(a), -^ tendra vers la même limite, d'où

dx X

C'est ce qui aura lieu encore, si l'on a y'(«) = o, avec j^(a) r= o et ^[ci) difi'érent de zéro, etc.

On a ensuite, pour l'ordonnée à l'origine de la tangente,

dy .j.t-m-i y-

Dans le cas où ^{a) ne sera pas nul, cette expression aura, comme l'ordonnée à l'origine de l'asymptote, pour limite

selon qu'on aura / — m }> i , = i , <C i •

Les cas exceptionnels de cette formule donneraient lieu à une discussion analogue à celle que nous avons faite pour les asymptotes [528, 529].

534. Si la courbe est rapportée à des coordonnées polaires, et

que la tangente ait une limite fixe HI ^fig> 42)» ^^ distance OH