LIVRE III. — EXERCICES
15. Volume engendré par la révolution autour de l'axe des x d'une courbe rap-
portée à des coordonnées obliques dont l'angle est 0. — Mesure de l'aire de la surface engendrée. — Exemples : i° ellipse rapportée à deux diamètres conjugués; 2° parabole rapportée à un diamètre quelconque; 3* hyperbole rapportée soit à deux diamètres conjugués, soit à ses asymptotes.
16. Volumes engendrés : i* par une conchoïde tournant autour de son axe de
symétrie; 2" par une cissoïde tournant autour soit de son axe de symétrie, soit de son asymptote, soit de la parallèle menée par le sommet à l'asymptote; 3° par une cardioïde tournant autour de son axe de symétrie.
17. Volume de la portion d'un tronc de cylindre de révolution comprise entre
deux plans passant par l'axe.
18. Partager le volume d'un cône de révolution en deux parties équivalentes
par un plan parallèle à une génératrice.
19. Étant donné un segment d'hyperbole compris entre deux ordonnées perpen-
diculaires à l'axe transverse, calculer le volume engendré par le segment tournant autour de l'une de ces ordonnées. — Exemple : 2^=10, nb = 8, bs ordonnées réponflant k x — a ei ai x= 2n.
20. Problème analogue pour la parabole j-^ — lAx. — Exemple : x= c ei ic
Déterminer c de manière que la différence des volumes obtenus en faisant tourner le segment successivement autour de chacune des deux ordonnées soit égal à i"", le paramètre 2 A étant égal à 9™.
21. Volume compris entre deux cylindres droits dont les bases sont des para-
boles situées dans deux plans perpendiculaires, de telle sorte que Taxe de l'une soit la tangente au sommet de l'autre, la distance des deux sommets étant donnée.
22. Une sphère de rayon a est coupée par une surface prismatique ayant pour
base un carré de côté 2b. Calculer la surface sphérique et le volume interceptés par le prisme.
23. Une sphère coupe un cylindre de révolution. Prouver que la surface totale
de la portion de cylindre intérieure à la sphère est égale au produit du diamètre du cylindre par le périmètre d'une ellipse ayant pour axes les segments maximum et minimum interceptés par la sphère sur les génératrices du cylindre.
24. Une génératrice d'un cône circulaire droit faisant une révolution entière
pendant qu'un point mobile parcourt cette génératrice d'une extrémité à l'autre, les deux mouvements étant uniformes, déterminer dans quel rapport la courbe décrite partage la surface latérale du cône.
28o LIVHE III. — EXERCICES.
25. Volume compris entre un cylindre /(x,^) = o, un cône ayant son sommet
à Torigine des coordonnées, un plan y=mx et le plan des xy, — Exemple : Le cylindre et le cône se coupent suivant la courbe ax =zji,
26. Du sommet À d'une parabole on mène une corde ÂNB sous-tendant Tare
AMB. Un carré, dont le plan est perpendiculaire à Taxe de la parabole, et qui a son côté égal et parallèle à la portion MN de l'ordonnée de la parabole, comprise entre la corde et Tare, et son centre au milieu de MN, se meut d'une extrémité à l'autre de cet arc. Calculer le volume et la surface du solide engendré. — Problèmes analogues en remplaçant le segment de parabole par un demi-cercle, par un segment de cercle quelconque, par l'espace asymptotique d'une hyperbole équilatère ou autre, par un segment de cycloïde, etc.
27. Étant donné un segment ABC compris entre une parabole AB, sa tangente
au sommet AC et une parallèle BC à Taxe, sur chaque portion de parallèle à l'axe comprise entre l'arc AB et la tangente AC on construit un rectangle perpendiculaire au plan de la courbe, et ayant une hauteur égale à la portion du prolongement de sa base comprise entre l'arc el la corde AB. — Volume du solide engendré par ce rectangle variable. - Môme problème en supposant la hauteur du rectangle : i* proportionnelle à sa distance au sommet A; %** proportionnelle à sa distance à la droite BC; 3" égale à Tune de ces deux valeurs augmentée d'une constante.
28. Volume commun à deux cônes obliques ayant môme base circulaire.
29. Un cône de révolution est coupé par un plan faisant avec la base un angle
donné et passant par une corde donnée de cette base. Calculer les volumes et les aires des deux parties. — Cas où le plan est perpendiculaire à la base.
30. Quelle est la courbe qui engendre par sa révolution un solide dont le vo-
lume soit égal à la portion d'axe interceptée, multipliée par la demisomme des bases circulaires?
31. Par un point mener une courbe OMP satisfaisant à l'une des conditions
suivantes :
( I ) L'aire du segment OMP, compris entre la courbe, l'abscisse et l'ordonnée, a un rapport constant avec l'aire du rectangle OPMQ des coordonnées.
(a) Le volume engendré par la révolution du segment OPM, autour de Ox, a un rapport constant avec le volume engendré par OPMQ.
( 3 ) La surface engendrée par la révolution de l'arc OM autour de x a un rapport constant avec la surface engendrée par la parallèle QM à l'axe 0^.
