LIVRE III. — EXERCICES
32. Étant donnée la courbe y^ = aj:, az^=jf^^ calculer Taire de la portion
du cylindre qui projette la courbe sur le plan des ^^, comprise entre le plan des x/, la courbe et i** sa projection sur le plan x = x, a"* sa projection sur le plan des^z. — Mêmes questions pour la courbe ax=zy^^ by = zV
33. Volume compris entre le plan des xj, le plan x = o, et les deux cylindres
3i. Volume compris entre les plans des xy et des /z, et les deux cylindres X* -h/* = <?', et j' — n^[y — z) =z o.
35. Aire de la portion du cylindre/* h- z* = a» limitée par les plans des xy et
des /z, et par le cylindre ax --/*.
36. Aire de la portion du cylindre by = z* comprise entre les plans des xy et
des jz, le plan/ = c et le cylindre r?x =/•. — Même problème relativement aux deux cylindres «* = /s, «• = xy*.
37. Volumes compris entre les plans des xy et des jz, le plan 7 = c et les deux
cylindres
(i) flx =/*, et 7*-+-z* = û*;
(2) /i*x — /*, et /* -H z* ~ rt*.
38. Volume compris entre les plans des xy et des/z, le plan x = c et les cy-
lindres flx =/*, et /z = fl*.
39. Volume compris entre les plans de xy et des xz, le plan x = c, et les deux
cylindres /* = a* — û^x*, et fl*z* = fl*x* — x«.
40. Volume compris entre les surfaces /(x, /, z) = o et F (x, y) = o, les plans
des xy et des xï, et le plan x — const. — Exemples :
( I ) /« = x*z, /« = ax, x=a.
(a) z* = ax/, y^ = ax.
(4) x/z = fl>, ax = /«, les 3 plans coordonnés et x = c.
41. Deux galeries voûtées d'inégale largeur se rencontrent à angles droits.
Les sections des voûtes sont des demi-ellipses ayant pour axes horizontaux les largeurs respectives des galeries, les demi-axes verticaux étant égaux entre eux. Calculer l'aire de la porlion de voûte projetée suivant le rectangle qui forme la partie commune du sol des deux galeries. — Calculer le volume de l'espace commun aux deux galeries.
OL%'i LIVRE III. — EXERCICES.
42. On coupe un cylindre de révolution donné par un plan parallèle à son aie et partageant, dans un rapport donné, le diamètre de la base auquel il est perpendiculaire. Calculer les deux parties du volume.
-43. Un solide ayant la forme i* d'une sphère, a* d'un segment de paraboloïde de révolution dont l'axe est vertical, 3" d'un cylindre circulaire ou parabolique à génératrices horizontales , est plongé dans un liquide dont la densité est n fois la sienne : calculer à quelle profondeur il s'enfoncera dans le liquide.
4i. Dans un ellipsoïde de révolution autour de son grand axe, on inscrit un cvlindre de révolution de volume maximum. Déterminer les volumes et les surfaces des parties dans lesquelles ce cylindre divise Tellipsoïde.
4j. On fait tourner une ellipse successivemant autour de ses deux axes, et, dans chacun des ellipsoïdes obtenus, on inscrit un cylindre de volume maximum. Calculer le rapport de ces deux volumes maxima.
46. On fait faire à l'une des branches d'une hyperbole une demi-révolution au-
tour de sa tangente au sommet , de manière qu'elle vienne rencontrer l'axe imaginaire. On fait tourner autour de cet axe le segment ainsi déterminé. Aire et volume du solide engendré. — Exemples : 2a = lo, !ib = 8.
47. Volume engendré par la courbe y =■- a' tournant autour d'une parallèle à
l'un ou à l'autre des deux axes coordonnés, menée par un point quelconque de la courbe.
48. Les douves d'un tonneau sont de forme elliptique, et le tonneau est de révo-
lution autour du grand axe de l'ellipse. Il contient 200 litres; le diamètre de chacun des fonds est de o'",535; celui de la bonde est de o^-ôîC. Calculer sa lonsrueur.
49. Un tonneau a la forme d'un segmont d'ellipsoïde à trois axes inégaux, ter-
minés par doux plans symétriques par rapport à l'un des plans diamétraux principaux. L'axe 2/7, perpendiculaire au plan de symétrie, est horizontal, et le plan passant par cet axe et par l'axe ib fait un angle a avec l'horizon. Le tonneau est rempli de liquide jusqu'à une hauteur A au-dessus de l'axe 2«. On donne la longueur 2/ du tonneau, le diamètre de la bonde 2^, et les deux diamètres principaux 2w et 2/? de chacun des deux fonds. Calculer la quantité du liquide contenu.
50. Un tonneau à douves paraboliques contient 200 litres; sa longueur, le
diamètre de la bonde et celui des fonds sont entre eux comme les nombres 7, 6, 5. Calculer ses dimensions. — Môme question, en supposant 1* le tonneau elliptique (comme ci -dessus), 2° le tonneau composé de quatre troncs de cône d'égale hauteur, et dont les rayons de^ bases sont connus.
