S*il existe une fonction u telle que l'on ait

cette fonction, ayant Mdx pour sa différentielle partielle par rapport à X, sera comprise dans la formule générale

M dx H- Y,

Xo étant une constante quelconque, et Y une quantité arbitraire, indépendante de x et pouvant être fonction de^'.

La fonction cherchée doit avoir, de plus, pour dérivée partielle par rapport à j^, l'expression donnée N. Il faudra donc que l'on ail identiquement, en différentiant par rapport à y l'expression (2), d'après le n** 470,

or dy

d'où l'on tire

'^y Jx. ^y

Le premier membre étant indépendant de x, il devra en être de même du second; et réciproquement, si le second membre est indépendant de x, on pourra toujours déterminer, par l'intégraiion, la fonction Y qu'il reste à trouver pour compléter la valeur { 2) de la fonction m. Il faut donc et il suffit, pour que le problème proposé soit possible, que la dérivée partielle du second membre de (3) par rapport à x soit identiquement nulle, ce qui donne la condition nécessaire et suffisante pour que l'expression (i) soit intégrable, c'est-à-dire pour qu'elle soit la différentielle exacte d'une fonction des deux variables indépendantes x,y, savoir

m. En supposant cette condition vérifiée, substituons, dans l'équation (3), à -7-7 sa valeur — j tirée de (4). Si l'on désigntî par No la valeur que prend la fonction N lorsqu'on y fait x = Xo^

INTÉGRATION DBS DIPPBRENTIELLB8 A PLUSIEURS VARIABLES. 289

00 aura

^ ^£r r=: N - No,

et, par suite, la valeur de -r- se réduira à

— = No, d'où y :== / No^j -+- C,

j'o et C étant des constantes quelconques. Donc, enfin, la fonction la plus générale, qui a pour différentielle Mrfx -f- Nrfy, et que nous

désignerons par

/(Mi/ar + NdTr),

a pour valeur

u—\ VLdx-^ 1 NocÇr-^-C.

Si l'on avait commencé l'intégration par le terme Ndy, on aurait trouvé de la même manière, en désignant par Mo la valeur de M pour y = y^^ cette autre expression de «, équivalente à la précédente.

N^jH- / Morùr-f-C.

Exemple. — Soit proposé d'intégrer la différentielle

On a ici

Mzn-H ^—-, N==-- r^'

et Ton peut d^abord vérifier aisément que ces valeurs satisfont à la condition d'intégrabilité (4)* On a maintenant

JyLdx = logx -H arc tang - -h Y,

d'où, en prenant Xq = i ,

, MdLi' = \of^x 4- arc tang arc tang - •

H. — Cour$ de Calcul iiifin,, II. 19

aOO LIVBB IV. — CIIAP. I, § I,

Ensuite

/n,'0-=/(-^ - ^)rfr= log 1 +arctangj: +C.

Donc

u = log — h arc lang — h C.

77S. Remarques, — I. Sî Texpression Me/or -f- N^/; se décompose en deux parties, dont Tune soft évidemment une différentielle exacte du^ (comme cela a lieu, par exemple, lorsque cette parlie ne dépend que d^une seule des deux variables), la partie restanle Mr/x -f- Nrf^ — dux = d[u — Ui) devra satisfaire séparément à la condition d'intégralité, et alors on pourra l'intégrer séparémenl par la règle du numéro précédent.

Ainsi, dans l'exemple que nous venons de traiter, Texpression proposée pouvant s'écrire sous la forme

les deux premiers termes forment évidemment la différentielle de

logx — logy = log- • Il ne reste plus qu'à intégrer le dernier terme, dont l'intégrale est arc lang - -+- C.

II. On peut quelquefois simplifier le calcul au moyen d'un changement de variables indépendantes. En posant, par exemple,

x-=i r cos/?, y = rsin/>, Tcxpression

dx dy f X \

se réduit à

dr I — ces/?

r siup

dont l'intégrale est

dp.

C H-log[r{i + cos/>)] = Ch- log(*-+-v^Jc*H-j'*). 776. Si Ton donne une expression différentielle à trois variables