INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES A PLUSIEURS VARIABLES
ÎDdépendantes x, y, z, de la forme
on verray comme précédemment , que, si cette expression est la différentielle d*une fonction u des trois variables indépendantes, rintégrale u sera comprise dans la forme la plus générale,
(Z étant une fonction de z seul), des fonctions dont la différentielle, prise partiellement par rapport à a: et à j^, est Mrfx -f- Nrf^. Pour qu'il existe de telles fonctions, il faut et il suffit d'abord que la condition
djr dx
soit identiquement vérifiée.
On trouve ensuite, en exprimant que cette fonction doit avoir P pour dérivée partielle par rapport à z,
dz ôz
Or, on a [774] et [307 J
dz
d'où
Le second membre devant être indépendant de x et de y, on trouve, en égalant à zéro ses dérivées partielles par rapport à ces deux variables, les deux nouvelles conditions
ÔJs dz ôf ôz
%i)2 LIVRE IV. — GHAP. I , § I.
qui, jointes à la précédente, forment les trois conditions nécessaires et suffisantes pour Tintégrabilité de la différentielle proposée.
En désignant par Poo ce que devient P lorsqu'on y fait à la fois X ==:Xo,j ^=^yo9 on aura alors, comme dans le cas précédent,
' MJ'x-f-/ No<r--i-/ Poorf-4-C.
En suivant la même marche, on trouverait aisément les conditions d'intégrabilité et Fexpression de l'intégrale dans le cas d'une différentielle renfermant un nombre quelconque de variables indépendantes.
777. Nous venons de voir que, dans le cas de trois variables, les conditions d'intégrabilité sont au nombre de i -h 2 =: 3. Dans le cas de n variables, le même raisonnement conduirait à un nombre de conditions d'inlégrabilité égal à
Jacobi a cependant démontré que, pour n ^ 3, ces conditions ne sont pas toutes distinctes entre elles, et que leur nombre peut se réduire à an — 3.
Soient, en effet, jr,, Xj, ..., JT/i les n variables indépendantes, et
( I ) Ml r/Xj -H M, (ix^ -h . . . -t- f^n^n
la différentielle donnée. Si l'on pose, pour abréger,
f.,, àMi ÔMj,
il faut et il suffit, pour que la différentielle (i) soit intégrable, que toutes les quantités [ik) s'évanouissent identiquement. Or, de ridentité
d(Al) dili] d[i^ __
^ ÔJ^i ÔJ-fe dxi
qu'il est aisé de vérifier, il résulte que, dès que l'on aura à la fois
[ik] =z o, {//; = o,
la quantité (hl) ne contiendra pas Xi,
INTÉGRATION DBS DIFFÉRENTIBLLES A PLUSIEURS VARIABLES. agS
Cela posé, si Ton a en même temps les ideDtités
(23)r=0, (l3)=rO,
les égalités (i3) = o, (34)= o montrent que {i4) ne contient pas Xj; les égalités (23) = o, (34) = o montrent que (24) ne contient pas non plus x^. Donc Tégalité (i4) H-X8(24) = o ne peut avoir lieu identiquement que si Ton a à la fois (14) = et (24) =0.
En coDtinuant de la même manière, on verra que les - ^ ^
conditions [ik) = o sont la conséquence des 2/z — 3 suivantes :
Or.::34), 0=z(I4)^-.r,(24),
o^.'45), or:i;i5) -h .r4(25) -h xj(35),
€}=^[/i~ i,//), o = (I/l)-^.r^,(2/?)-^.^J j (3/i) -H...-h.rJ 5(/i — 2, n). Dans ces équations, on pourrait remplacer les multiplicateurs
•^31 "^41 "^4» • • •. ^n — Il • • • » *^n--\
par des fonctions quelconques
Aj, A^, A^, • • • « A^j I , • • • t ^n^l '
assujetties aux seules conditions que les quantités
ne soient pas toutes indépendantes de Xi et que, si les coefficients a, a', . . . , a^'"-^ ne sont pas tous nuls, on ne puisse avoir entre )',• , /' , ... aucune relation linéaire de la forme
dans laquelle a, a^ . . . , a^^"-^ soient tous indépendants de x/.
778. Démontrons maintenant deux théorèmes qui seront plus lard d'un fréquent usage.
294 LIVRE IV. — • GIIAP. 1, § I.
J. Si i£ et ^ sont deux fonctions des variables indépendantes x, y y la condition nécessaire et suffisante pour que u soit une fonctioD de V est que l'on ait identiquement
[ au du Ox df
as* di> àx ôf
En effet, i^ si u est fonction de ^, on a, en posant u =f (t^),
du dv du ., . dp
d'où, par division, on tire immédiatement la formule (i).
2° Si M et ç' sont deux fonctions de x et de y, on peut, de la relation v=zJ(^Xyj), tirer j^ en fonction de u et de a:, et, en substituant cette valeur dans l'expression de u, on a généralement
au . âv du , dv
La condition (i) devient alors
di* Or, i' contenant en général j, -v- n'est pas identiquement nul. Donc
on a (!/{x) =. o, et, par suite, l'expression de u ne dépend que de v seul.
Si \f ne contient pas^'^, on aura -^ == o. Dans ce cas, si l'on sup-
f ^ .y . du it \ dv . ,
pose i£ =:(5)(i/), il vient— =(p («^j -r- ^^o, et, par suite, le premier
membre de la formule (i) est bien identiquement nul. Réciproquement, si la relation (i) a lieu, et que l'on ait-r- = o, il en résultera -r- = o ; u est donc fonction de x seul, et par suite aussi de v
seul.
Ce théorème n'est autre chose qu'un cas particulier de celui quç nous avons démontré sur les déterminants fonctionnels [316].
TIIKORÂMES GÉNÉRAUX. ^^H
779. II. Si tt el V sont deux fonctions des variables indépendantes a:, ^, alors l'expression uâsf sera une diCTércntielle exacte, si u est fonction de i^; et, réciproquement, u sera fonction de i% si IX ^M est une différentielle exacte.
En effet, la condition d'intégrabilité de l'expression
, dp , dv
dx dy -^
est
ou, en réduisant,
OX àx
du àv du dv
dy dx dx djr
ce qui n'est autre chose que la relation (i) du numéro précédent, laquelle est nécessaire et suffisante pour que u soit fonction de v.
FORMATTOî* d'uHE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DU PREMIER ORDRE PAR l'élimination d'uNE CONSTANTE ARBITRAIRE.
