Soit donnée une équation

représentant une série infinie de courbes, lorsqu'on fait prendre à la constante arbitraire C une infinité de valeurs successives. Si l'on différentie cette équation, la relation

dY ,d?

,:.) ./t:=o, ou ^4-,---=.0,

qui ne contient plus C, exprime une propriété commune à toules ces courbes, propriété qui consiste en une relation entre les coordonnées d'un point et Tinclinaison de la tangente en ce point, ou, ce qui revient au même, entre les coordonnées d'un point et les quantités, telles que la sous-tangente, la sous-normale, etc., qui dépendent de l'inclinaison de la tangente.

Oi€fi LIVRE IV. — CUAP. I, § II.

Celle relalion s'appelle une équation différentielle, et celle équation différentielle est dite du premier ordre y parce qu'il n'y entre que les différentielles du premier ordre de x et dey, ou, en d'autres termes, parce qu'il n'y entre que la dérivée du premier ordre de j^ par rapport à x.

Les équations (i) et (2) étant chacune une conséquence de Tautre, l'équation (2) peut remplacer l'équation (i) et représente la même série infinie de courbes.

L'équation (i), qui est l'équation finie la plus générale qui satisfasse à l'équation (2), d'où elle se tire par l'intégration immédiate, est dite V intégrale générale de l'équation (2).

Exemple. — Soit l'équation

représentant une suite infinie de cercles qui ont pour centre commun l'origine des coordonnées. Cette équation donne, en différentiant,

a--+-r/— o, ou -/nr — I,

équation différentielle qui exprime que la tangente est perpendiculaire au rayon vecteur. Cette même relation peut encore s'écrire ainsi :

et sous cette forme elle exprime que la normale au cercle passe à l'origine.

781. Si le premier membre de l'équation (2), par une transformation quelconque, se trouve multiplié par un certain facteur p., l'équation résultante

(3) ii.d¥ = o

est bien une conséquence de l'équation (i). Maïs ici la réciproque n'est plus vraie, puisque l'équation (3) peut être vérifiée, nonseulement lorsqu'on pose dF = o ou F = const., mais encore lorsqu'on pose

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PEEMIEE ORDEE. 297

équation qui ne contient pas de constante arbitraire et qui ne peut, en général, coïncider avec (i), ni même être un cas particulier de (i) pour une valeur convenablement choisie de C, sauf des cas exceptionnels.

L'équation (3) admet donc deux solutions finies, l'une provenant de rfF = o, et qui est l'intégrale générale (i), l'autre (4), qui ne contient pas de constante arbitraire et qui représente une courbe ne faisant pas partie, en général, de la série représentée par l'équation (i). Cette dernière solution s'appelle tantôt une 50lution singulière, tantôt une solution étrangère de l'équation différentielle (3), suivant que la valeur dej^, tirée de la différentielle de l'équation (4) et substituée dans l'équation (2), satisfait ou non à cette équation.