En joignant, à Téquation donnée

et à sa différentielle première

sa différentielle seconde

on pourra entre ces trois équations éliminer les deux paramètres C, C, et l'on obtiendra ainsi une équation différentielle du second ordre

exprimant une propriété commune à toutes les courbes de la double série représentée par l'équation F = o.

Si l'on désigne par p le rayon de courbure,

on pourra exprimer j'^ en fonction dey et de p, et, en substituant cette expression

dans l'équation y(x, j^,j^,j") = o, cette équation différentielle du second ordre deviendra une relation entre les coordonnées x, j" de chaque point de la courbe, le coefficient d'inclinaison j<^ de la tangente et le rayon de courbure p en ce point.

Cette relation géométrique est évidemment indépendante de la manière dont on a opéré, pour l'obtenir, l'élimination des constantes C, C. Donc on parviendra toujours à la même équation différentielle du second ordre, de quelque manière que l'on s'y prenne pour éliminer les deux constantes arbitraires, soit en

3lO LIVRE IV. — CBAP. I, § III.

combinant directement les trois équations F = o, rfF = o, rf*F = o, soit en éliminant d*abord C entre F = o et dF =Oj puis en éliminant G entre l'équation obtenue et sa différentielle, etc.

796. En raisonnant comme nous l'avons fait pour les équations différentielles du premier ordre, on verra que ( sauf l'introduction des facteurs étrangers) l'équation différentielle du second ordre est équivalente à l'une ou à l'autre des deux équations du premier ordre d'où elle peut se déduire, et que l'on appelle les intégrales premières de l'équation du second ordre.

Or, chacune de ces intégrales premières est elle-même équivalente à l'équation primitive. Donc l'équation différentielle du second ordre est équivalente à une équation finie, renfermant deux constantes arbitraires, et qui est dite V intégrale générale de l'équation du second ordre.