En combinant entre elles les deux intégrales premières

mises sous la forme

fi = C, A = C\

on en tirera une nouvelle équation différentielle du premier ordre

(o désignant une fonction arbitraire), qui sera une nouvelle forme d'intégrale première de l'équation du second ordre. Cette équation exprimera une propriété commune à toutes celles des courbes de la double série dans lesquelles les paramètres C et O sont liés entre eux par la relation cj>(C, G) = C". Cette nouvelle intégrale, pouvant remplacer une des anciennes, sera, comme chacune de cellesci, équivalente à l'équation primitive. On peut le rendre évident, en remarquant que l'on peut introduire G' au lieu de C, par exemple, dans l'équation F = o, et que l'élimination de C entre celle-ci et sa différentielle ne peut conduire qu'à une équation équivalente à cp {/{yf^) = C".