I. En différentiant l'équation du premier ordre

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE. '3ll

îi yienijy"+y^ = C, d'où, en éliminant C, on tire l'équation du second ordre

qui convient à toutes les coniques dont les axes principaux sont dirigés suivant les axes coordonnés. Si l'on introduit, à la place àey, le rayon de courbure p, l'équation devient

^r { ' -H /•)* -^ py i^y—j) = o.

Or on a MN = la normale N = MP séc MTx ou = ^ ^^ i -+- j'^ ;

Fig. 85.

V y^X Jr

on construit ensuite, par des perpendiculaires, MQ = MP séc^MTx, puis MR = MP séc» MTx=j( 1-4-/2)^. D'ailleurs,

OT = MP — MS = r — rr'.

Donc l'équation différentielle devient, à cause de OD = OT.y,

OP.MR = p.OD,

d'où l'on déduit jO par la construction d'une quatrième proportionnelle.

En mettant les deux intégrales premières sous la forme

3ia LIVRE IV. — CHAP. I, § III.

on en tirera, par exemple, une troisième intégrale première

je

G" étant égal à %