III. L'équation du premier ordre

y.i^yy^=zc*

donne immédiatement

ry(iH-y*H-r/'i=o,

ou, en négligeant le facteur j^j', qui ne donnerait qu'une solution étrangère,

I -*-/'-+- 77" =o, d'où p=:— ^^n-/« = — N, équation qui exprime que le centre de courbure est sur Taxe des x.

799. Il est facile de s'expliquer comment une équation différentielle du second ordre, donnée a priori, peut déterminer une courbe satisfaisant à deux conditions arbitraires, telles que dépasser par un point donné et d'avoir en ce point une tangente ou une normale donnée.

Prenons, en effet, pour correspondre à l'abscisse initiale Xo, l'ordonnée arbitraire j^o» et menons une droite ayant pour coefficient angulaire la valeur arbitraire y^ et passant par ce point.

CONSTRUCTION D'UNK ÉQUATION DU SECOND OHDRB. 3l3

L'éqaation diflférentielle

déterminera la variation infiniment petite j-^rfxo = dj-^ du coefficient angulaire de la tangente y lorsqu'on passe du point (o^oy j^'o) au point infiniment voisin (j^o^i) pris sur la première tangente. On construira de même une troisième tangente en un troisième sommet infiniment voisin (0:29^^2) pi*is sur la seconde tangente, cette troisième tangente ayant pour coefficientangulairej^', -^j\ doC\ ; et ainsi de suite. On obtiendra ainsi un polygone infinitésimal, dont la limite sera une courbe qui représentera par son équation rintégrale générale de Téquation difl'érentielle donnée.

On peut encore prendre Téquation diflférentielle sous la forme

Au point Mo(xo, jo) on mène une normale arbitraire, sur laquelle

on porte la longueur po déterminée parTéquation po=x('^o»J^'oO'«)* On obtient ainsi le centre de courbure No du point M©. De ce centre No on tracera un arc de cercle infiniment petit MoM|. Sur la normale MiNo on portera la longueur p< =x(*^<» JTo ,t'i)> ce qui donnera un second centre de courbure Ni, d'où Ton décrira un nouvel arc de cercle infiniment petit M1M2; et ainsi de suite. On aura ainsi un polygone curviligne, dont les côtés seront des arcs de cercle infiniment petits, et qui aura pour limite une courbe représentant l'intégrale générale de l'équation difilérentielle du second ordre.

800. On peut aussi se servir du théorème de Taylor pour développer en série la valeur de j^. On fera voir d'abord, comme on l'a fait pour le cas d'une équation du premier ordre, que Téquation différentielle du second ordre détermine, en fonction des quantités Xjjr,y\ la dérivée seconde j^" et toutes les dérivées suivantes

j"'y J^^y — En désignant donc par jo)J>'o les valeurs arbitraires de y y y qui correspondent à la valeur initiale x = Xo. on connaîtra en fonction de ces quantités arbitraires tous les coefficients du développement de

y ~J „ H [x — J^o) H (x — .roj- -h . . . ,

3l4 LlVaS IV. — CHAP. I, S !>■•

et celle équation donne, en intégrant deux fois entre les limîles

3Cf!t et 3Cj

expression dej^ au moyen de x et des quantités arbilrairesj^oi/o Exemple. — Soit l'équation

On en tire successivement

Donc, en supposant Xo = o,

=r Ko cosax "h -- sina;r.

LMntégrale générale peut donc se mettre sous la forme

^ r= C cosax -h C sinax.

Si, au lieu de supposer Xo = o, on avait laissé Xq quelconque, l'expression que Ton aurait obtenue,

jt^zjtq cosa(.r — Xq) -f- — sinA(.r — Xq]

= ( joCOSrt.To sina^o j cosrtJ? H- ( ^0 sin«.ro-|- *~ co^ax^ \ sin<iJr,

aurait encore pu se ramener à la forme Ccosax-j- C'sinax, et, par conséquent, n'aurait pas eu plus de généralité qu'en prenant

Xq = O.

DES ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES DU TEOlSlàME ORDRE. 3l5

801 . Si réquation prînritive F = o contient trois paramètres arbitraires, on parviendra, par leur élimination entre Péquation et ses trois premières différentielles, à avoir une équation différentielle du troisième ordre, que Ton pourra interpréter géométriquement comme étant une relation entre a:, y^ j'j le rayon

de courbure p de la courbe, et le rayon de courbure p\ = --^ de

la développée [580].

Une équation du troisième ordre est indépendante de Tordre dans lequel s'effectue l'élimination des trois paramètres.

Elle est équivalente à chacune de ses trois intégrales premières, ou équations du second ordre, renfermant chacune une constante arbitraire, et de la forme

à chacune de ses trois intégrales secondes, ou équations du premier ordre, renfermant chacune deux constantes arbitraires, et de

la forme

/ï(^ir,/,C,C') = o,

et enfin à son intégrale générale, qui est l'équation primitive avec trois constantes arbitraires,

On verrait, comme dans le cas précédent, que l'équation différentielle du troisième ordre peut servir à construire approximativement la courbe, soit par un polygone rectiligne infinitésimal, soit par un polygone curviligne obtenu en construisant approximativement la développée et le Heu de ses centres de courbure. On pourrait aussi tirer de l'équation différentielle le développement de l'ordonnée de la courbe suivant la série de Taylor.

802. En général, si une équation renferme n paramètres arbitraires, on pourra les éliminer entre l'équation et ses n premières différentielles, et former ainsi une équation différentielle du ^iéme Qrdre, A.U lieu d'éliminer toutes les constantes à la fois, on pourra, par des combinaisons différentes des 7t+i équations

3l6 LIYBB IV. — CHAP. I, § IV.

F = o, rf F = o, . . . , d«F = o, éliminer

I constante de n manières différentes,

2 u de

3 » de

n — I » de /i • '«

n » de I seule manière.

ce qui donne, entre autres, n équations différentielles de Tordre n — I, contenant chacune une constante arbitraire, et qui sont les intégrales premières de Téquation différentielle du n**"* ordre.

Si Ton connaissait les n intégrales premières, on obtiendrait rintégrale générale en éliminant entre ces tz équations les n — i dérivées y'> j"» • • • yj ^"^^K

On pourra considérer l'équation différentielle d'ordre n comme une relation entre Xjj^y et les rayons de courbure de la courbe, de sa développée, de la développée de sa développée, ou développée du second ordre, de la développée du troisième ordre, et ainsi de suite, jusqu'à la développée du [n — ^yème ordre.

L'équation différentielle de l'ordre n a (sauf les solutions singulières et les solutions étrangères) la même généralité que l'équation primitive à n constantes arbitraires d'où elle est tirée, et peut remplacer cette équation primitive.

Elle peut servir soit à construire approximativement l'intégrale générale, soit à former son développement par la série de Tajlor.

§ IV

TOUTE ÉQUATION niFFÉBENTIELLE d'oBDRE QUELCONQUE ENTRE DEUX