VARIABLES À UNE INTÉGRALE GÉNÉRALE

803. Nous allons démontrer que toute équation différentielle entre deux variables a une intégrale générale, c'est-à-dire que l'on peut construire à l'aide de cette équation un polygone infinitésimal, ayant pour limite déterminée une courbe satisfaisant à n con-

TOUTE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE A UNE INTÉGRALE. 3l7

ditions choisies arbitrairemenl; n étant Tordre de Téquation différentielle.

Commençons par traiter le cas d'une équation différentielle du premier ordre, que nous supposerons mise sous la forme

et supposons la fonction f{x,y) continue par rapport à x et àj^ dans le voisinage des valeurs de ces variables que nous aurons à considérer.

Par un point arbitraire {xq,Jq) du plan, menons une droite ayant pour coefficient angulaire la quantité

Donnons à j: un accroissement dxo = Xi — Xo, auquel correspondra l'accroissement dej^

A partir du point [x^yji) menons uae droite ayant pour coefficient angulaire

yi=/(-^iiri).

et donnons à x un nouvel accroissement dx^ =^ Xo — Xj, auquel correspondra Taccroissement de y

Et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on soit arrivé à une certaine abscisse finale a:„ = X, le dernier accroissement de j^ étant

On aura ainsi construit un polygone, dont l'ordonnée finale Y sera égale à l'ordonnée initiale j^o? plus la somme des accroissements successifs, c'est-à-dire que Ton aura

804. Puisque l'on suppose f{xo,jro ) fini, le rapport de l'accrois-

3l8 LIVBE IV. — CHAP. I, § IV.

semenl j i — j © à raccroissement Xt — Xq aura une valeur finie l'^. L'accroissement suivant j'j — J't aura encore un rapport fini avec X'2 — Xi, si la fonction y(j:,j>') est finie pour les valeurs x ^=Xi, j=j),, différant de quantités non infinies Xi — Xoyfo{Xi — Xo) des valeurs Xo, j'o> de sorte qu'on aura

— /i=^i(-ri-"*i).

A^i étant une quantité finie; et ainsi de suite. Si nous supposons que l'intervalle X — Xq soit pris de telle manière qu'aucune des quantités ko, l'i , ... ne soit infinie, l'accroissement Y — j© sera égal à la somme X — Xq des accroissements de .r, multipliée par une moyenne k entre les quantités Aq, kt, ..., c'est-à-dire par une quantité finie. Donc Y — jo sera, dans ces conditions, une quantité finie, quel que soit le nombre des divisions de l'intervalle X — To. La condition que nous supposons remplie consiste en ce qu'aucun des côtés du polygone ne devienne parallèle à Taxe des j-, ou, plus exactement, en ce qu'une droite tournant autour d'un point fixe, de manière à devenir successivement parallèle aux divers côtés du polygone, ne passe jamais, dans son mouvement continu, par une position parallèle à l'axe des j-. On pourra toujours partager l'inter^'alle X — Xq en intervalles partiels, pour chacun desquels cette supposition soit réalisée. Ainsi y(j:,j^) est supposée finie pour toutes les valeurs de x et de j qui répondent aux sommets du polygone, et, de plus, continue dans le voisinage de ces valeurs.

833. Pour apprécier l'influence d'une subdivision ultérieure des intervalles sur la valeur de la somme (a), considérons un élément unique

et comparons-le à la somme (a), résultant de la division de l'intervalle en /£ parties. La quantité (3) pouvant s'écrire sous la forme

/(•'•o>7o) (-î^j — ^o) -f-/( J^o»ro) (-^2 — *i) -^ . • . -l-/(j^oO'o) (X — j:„i), on voit que la différence des deux quantités (2) et (3) a pour

TOUTE ÉQUATION DIFFBRKNTIBLLB A UNE INTÉGRALE. SlQ

valeur

, ^j ; - [fi-ri.yt] -/(^o.ro)] [(X- X,) - (X - X,)]

' -+- I/(-^îiri) — /(^o,Jo)] [(X — .r,) — (X — 0:3)] -f- . . .

== [/{^u y\ ) — /(^o,ro)] (X - xj )

l -+- [/(-^«O-») -/[^uXx )] (X - X,) + . . . ,

expression que ron peut obtenir directement, en remarquant que Taccroissement total de Y, résultant de la division de l'intervalle, est égal à la somme des segments interceptés sur la dernière ordonnée entre les prolongements de deux côtés consécutifs du polygone, segments égaux aux intervalles X — X|,X — x^, ..., multipliés respectivement par les accroissements correspondants de

Or, si nous supposons les deux dérivées partielles

finies, comme la fonction y (a:,} ) elle-même, pour les valeurs de X et dej^ considérées, on aura [339]

Ç et Ti désignant des valeurs moyennes de la forme

B étant positif et <| i , et A'o ayant une valeur finie, égale '^/{xqjJo), Donc, si Ton représente par z/q une quantité finie, quel que soil l'intervalle X\ — Xqj fini ou infiniment petit, on aura

On trouvera de même el ainsi de suite, Uo"2> ••• étant des quantités toujours finies.

3ao LIVRE IV. ~ GUAP. I, § IV.

Donc la somme (4)^ ou l'accroissement de Y résultant de la division de rintervalle X — Xq, sera de la forme

i/o(X — Xj) (a-, — Xo) 4- «i(X — x,)(j:,-~a:,) -f-

Cette quantité est égale à la moyenne des quantités Kq» «i,.... qui est une quantité finie u, multipliée par la somme des seconds facteurs

(X— .r,) [jTi — Xo) -f- (X— x,) (.r,--x,) -h . .1- (X — .r„,) (.r„, — jr^,:.

Si Ton suppose maintenant les intervalles partiels infiniment petits, cette somme convergera vers l'intégrale

(X — x)dx^=z - (X — Xo'*.

Donc, lorsqu'on remplace un intervalle unique X — Xq par une infinité de divisions infiniment petites, la limite du changemeDt qui en résulte pour l'ordonnée extrême Y est de la forme

U étant une quantité finie.

On voit d'abord que cet accroissement de Y est toujours fini lorsque l'intervalle X — Xq est fini. Lorsque cet intervalle est infiniment petit, l'accroissement (5) est infiniment petit du second ordre.

806. Revenons maintenant à la somme (2), et supposons qu^on y subdivise à l'infini chacun des intervalles partiels Xt — Xq,

L'ordonnée j'i subira, par l'effet de la subdivision de Tintervalle Xi — Xot un accroissement ^ 1 de la forme

I/o étant fini. Il en résultera pourj'^ =y(xi,j^'i) un accroissenienl i^o étant une quantité finie.

TOUTE ÉQUATION DIFFERENTIELLE A UNE INTÉGRALE. 3'il

L'accroissement de J>'2 = yi -f-j''i(j^2 — J^t) se composera de Taccroissement de jTf, plus Faccrolssement de x\{x2 — J^*)» P^"^ une quantité de la forme U| (x2 — ^t^j Ui étant une quantité finie, fonction de Xi, j^i -f- ijt , . . . . Donc on aura

ou, en remarquant que Uo -H f'o (j^a — Xi) est une quantité finie que Ton peut encore représenter par uq,

En continuant le même raisonnement, on verra que Y, par Tefiet de la subdivision, croîtra d^une quantité que Ton pourra mettre sous la forme

*T = iio(*i — •»-o)'4-«,(x,— J:i)'-h...-+-tf„«i(X — x„i;*,

Uq, U|, . . ., {/;,.| étant des quantités finies. On peut mettre cette expression sous la forme du produit de X — Xq par une moyenne entre les quantités infiniment petites

laquelle moyenne ne peut qu'être elle-même infiniment petite. On voit donc que Taccroissement SY est infiniment petit, si tous les intervalles x^ — jTo? • • • 7 X. — x„^^ sont infiniment petits.

Donc on peut toujours diviser l'intervalle X — Xq en parties assez petites pour que Y ne puisse plus varier qu'infiniment peu par l'effet d'une subdivision ultérieure quelconque. Donc, Y tend vers une limite finie et déterminée.

On prouverait, comme nous l'avons fait [237], que la limite de Y est indépendante du mode de subdivision.

Ainsi, l'ordonnée Y, construite au moyen de l'équation différen- ' tielle, et dont la dérivée

lim ?["'^"-^ =lim/(x,^>,^,.,) =/(X,Y)

satisfait à cette équation, est une fonction déterminée de l'abscisse finale X et de la valeur arbitraire j^o 7 que l'on a choisie pour l'ordonnée initiale.

H. — Cours de Cale, inpnit., II. 21

807. Remarquons que, la construction ci-dessus pouvant être continuée de part et d'autre de Tabscisse Xo, celte abscisse initiale peut être considérée comme Tabscisse d'un point quelconque de la courbe. Si l'on fait varier j-q d'une manière continue, chacun des éléments de la somme (2) variera infiniment peu par rapport à lui-même pour un accroissement infiniment petit dej^«; la somme elle-même variera donc infiniment peu, et, par suite, Y est une fonction continue de^^o-

Donc, en faisant varier j-q, on fera varier d'une manière continue les 'ordonnées de tous les points de la courbe. On peut ainsi faire varier, en général, j^o de manière à faire prendre à une ordonnée quelconque y une valeur assignée d'avance. Donc on peut dire, en généralisant ce qui concerne l'ordonnée considérée d'abord comme ordonnée initiale, que la courbe déterminée par Téquation différentielle peut satisfaire à la condition de passer par un point quelconque désigné sur le plan, c'est-à-dire que la condition nécessaire et suffisante qu'il faut joindre à l'équation différentielle pour que la courbe soit complètement déterminée équivaut à faire passer la courbe par un point arbitraire du plan ou à faire prendre à y, pour une valeur donnée de x, une valeur arbitraire.

Cette condition peut être remplie par toute équation renfermanl une constante arbitraire, et donnant pour j' et y des valeurs satisfaisant à l'équation différentielle, quelle que soit cette constante. Or, si l'on choisit la constante de manière à satisfaire à la condition initiale, la courbe se trouve alors complètement déterminée par la seule condition de satisfaire à l'équation différentielle. Donc toutes les courbes qui satisfont à l'équation dififérentielle forment une série unique de courbes qui ne diffèrent entre elles que par la valeur d'un paramètre arbitraire.

808. Il peut sembler cependant, au premier abord, que la valeur de Y, que nous avons déterminée ci-dessus, dépende des trois quantités Xo^j^oy X, de sorte que l'équation de la courbe se présente avec deux constantes arbitraires, sous la forme

Mais il faut remarquer que cette équation n'est pas de forme quel-

TOUTE ÉQUATION DIFFERENTIELLE A UNE INTEGRALE. 3^3

conque, et que sa forme particulière doit permettre de réduire à Tunité le nombre des arbitraires. En effet, si Ton fait tendre X vers Xq, y devra tendre vers j'o> de sorte qu'on aura, à la limite,

et, comme Xo ety^ sont deux quantités arbitraires et indépendantes l'une de l'autre, cette équation ne peut être qu'une identité. Donc la relation entre les coordonnées de deux points, qui représente l'intégrale générale de l'équation différentielle, doit se transformer en identité lorsque les deux systèmes de valeurs des variables viennent à coïncider.

De plus, puisqu'on peut prendre pour point initial un point quelconque de la courbe, si l'on désigne par j^ l'ordonnée qui correspond à l'abscisse x dans la courbe qui passe au point (X, Y), on pourra prendre x pour abscisse initiale au lieu de Xq, et l'équation de la courbe pourra se mettre sous la forme

y(X,Y, X,j)zirO.

Si l'on fait maintenant coïncider (X, Y) avec (xo^yo)} on voit que l'on aura, pour une abscisse quelconque x,

Donc la courbe peut être indifféremment représentée par Tune ou l'autre des deux équations

7(^»r» -^otro) = o, 7(j:o,ro» •^•j) = o,

c'est-à-dire que la relation entre les deux systèmes de valeurs des coordonnées du point initial et du point final ne change pas lorsqu'on échange entre eux ces deux systèmes.

On voit que, dans cette relation, la valeur de Xo est indifférente, et que l'on obtient telle ou telle courbe du système en faisant correspondre à n'importe quelle valeur de Xq une valeur de yo convenablement choisie. Ainsi, l'équation n'a pas plus de généralité qu'une relation contenant une seule constante arbitraire.

809. Passons maintenant au cas d'une équation différentielle d'un ordre quelconque m, que nous supposerons mise sous la

324 LIVBB IV. — CBAP. I, § IV.

forme

(1) rf'">=/(^,r./ rc»-*)).

Nous allons montrer d'abord que cette équation détermine pour yrim-i) une valeur fonction de x et des m constantes ^o>J'o>« • •» yr~^\ qui représentent les valeurs de y^y'^ ...,jf'"""*^ pour

Pour un point (j^^oJTo) du plan, Téquation (i) détermine j^J^*"' en fonction de Xo, j o> J 'o> • • •> JKo'" *'• Menons, par le point qui a pour coordonnées (•3Co>j>^o'"~*')> une droite dont le coefficient angulaire soit cette valeur de y^^^- Si nous faisons croître Xo de ^Xo, r""~*' croîtra de rf^^J,'""*^ =JKo"' ^-^o» ®*' prendra une nouvelle valeur j^^ Donnons aux quantités j'i,'""^',^'!/""",. . ., j'o les accroissements

J^i — ^0 = /o ^Of

et avec les nouvelles valeurs de ces quantités déterminons la nouvelle valeur ^Qy^^\

yi — / 1-^11 ynyi» •- "i^i ;•

En passant de même du second système de valeurs à un troisième, et ainsi de suite, on construira un polygone dont les ordonnées des sommets seront les diverses valeurs de j^^"*"'^, depuis Tabscisse initiale x^ jusqu'à l'abscisse finale X. L'accroissement de y^^~^) dans cet intervalle sera

en désignant, pour abréger, pary/rexpressiony(a:/,yô j^',- , . . . ^j^/"*"*-) • Si l'on suppose rinter>'alle X — x© choisi de manière que la fonctiony ne passe pas par l'infini dans cet intervalle, c'est-à-dire de manière que la droite qui suit la direction des côtés du polygone ne passe pas par une position parallèle à l'axe des^, on verra que l'accroissement Y^'""*^— ^j,'""*', étant égal à l'intervalle total X — Xo multiplié par une moyenne entre les valeurs de/", sera une quantité finie, quel que soit le nombre des divisions de l'intervalle. En second lieu, si l'on remplace un seul intervalle X — x© par n intervalles partiels