TOUTE EQUATION DIFFÉRENTIELLE A UNE INTÉGRALE

raccroissement Y^"*""*^ — j Jj"'"'^= (X — a'o )yo variera d'une quantité que Ton peut, d'après ce que nous avons vu plus haut, mettre sous la forme

On a, d'ailleurs, en supposant les dérivées partielles de f finies dans l'intervalle X — Xq, comme la fonction elle-même,

/i~/o-/'(5)(^i"^o)+rw(7i-7o)+...+/'(^('"-*^)(yr*'-rr-*');

et, comme tous les accroissements^'^ — j^o» •••>J^i'"~'^ — ^o'"~*'sont les produits de X\ — x^ par des quantités finies, f^ — f^ prendra la forme

uq étant une quantité finie. Et de même pour les autres. On en conclut, comme on l'a fait pour les équations du premier ordre, que la variation que subit l'accroissement Y^'»"'^ — J'o"'"*^ est une quantité dont la valeur limite est de la forme

-a(X — xo)*,

u étant une quantité finie.

Il résulte enfin de là que , si l'on part d'une subdivision de l'intervalle total en éléments infiniment petits, l'accroissement Yf*"""') — Jo"~*^ ûe subira plus que des variations infiniment petites. Donc cet accroissement tend vers une limite déterminée, indépendante, comme on peut le démontrer, du mode de subdivision de l'intervalle X — Xo en parties infiniment petites.

810. Il s'ensuit de là que Y^"*"'^ est une fonction déterminée de X et des quantités arbitraires Xo,j'o> j'o» • • • Oo""* ayant pour dérivée

lim^ Zjl^ =liin/„,=/[X.Y,...),

et par suite satisfaisant à l'équation difi<érentielle. Ainsi, de l'équation difi(érentielle (i) on déduit une équation de la forme

3aC LIVRE IV. — CHAP. I, § IV.

j (m-i) ayant pour dérivée

o\xy,y' y . . . sont les limites des valeurs obtenues comme on vienl de le voir, limites que l'on démontrerait être finies et déterminées, comme on l'a fait pourj^f'""'^

En intégrant m — i fois de suite cette expression de^^'"~'^ el déterminant chaque fois la constante d'après la condition que,

pour jr = Xo, on ait j~ jo, j'= J ©* • • -, 7^"'"*^= Jo" "» ^n parviendra à une relation entre Xjj et les ni constantes arbitraires J^yj\^ ' • • ^jT~^\ laquelle sera Vintégrale générale de l'équation différentielle proposée.

Remarquons que, d'après la loi de formation des fonctions y{m'-\)^j{m-2)^ ^ ^ ,^j\ chacune d'elles est la dérivée de la suivante, et c'est pour cela qu'elles se reproduisent dans les intégrations successives.

Si l'on donne maintenant une équation

F (x, r, Cl, Cj, . . . , C,„) — o,

renfermant m constantes arbitraires distinctes, c'est-à-dire telles qu'on puisse les déterminer de manière que, pour j: = Xo, y et ses m — I premières dérivées prennent des valeurs choisies arbitrairement, et que la valeur de j^ tirée de cette équation satisfasse à l'équation différentielle (i), quelles que soient ces m constantes, cette équation ne pourra que coïncider avec l'intégrale générale dont nous venons d'établir l'existence.