DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE ET DU PREMIER DEGRÉ

8H. I. Intégration immédiate. — Supposons d'abord que Téquation différentielle donnée soit du premier degré par rapport

à -j-^ et, par suite, qu'elle puisse se mettre sous la forme

M«ir-f- '^dfz=. O,

M et N étant des fonctions données de x et dej^. Si le premier membre de cette équation est la différentielle exacte d'une fonction des variables x et^, considérées comme indépendantes, cette fonction, dont la différentielle doit être nulle en vertu de l'équation, ne pourra que conserver une valeur constante. On aura donc la relation

qui contient une constante arbitraire et qui sera l'intégrale générale de l'équation proposée.

Exemples. — i'^ L'équation

(aaJr-H Pf -^$)d£-\' [^x -{- 2 7/ -h t] df — o

3a8 LiviiB IV. — CHAP. Il, s I.

a pour intégrale générale

a-t* -h p jTj- -f- 7^' -h Jj-h ty = C,

2^ L'équation

dx dy [ X \

donne, en représentant la constante arbitraire par logC,

Arg Sh - H- log^ =^ log [x 4- \x^ 4-^ *) =: loge, doù

)2— C- 2Cj:.

812. II. Séparation des variables, — L'intégration immédiate peut s'effectuer dans le cas où les variables sont séparées, c'esià-dire où l'équation est de la forme

X étant une fonction de Xj Y une fonction àey. L'intégrale générale de l'équation est alors

/Xr/x-f-/Yr/» — o.

Exemples. — i® Soit l'équation

dx

dr

on en tire, en représentant par logC la constante arbitraire,

logj: — logj = logC, d*où X =z Cjr,

2° Soit l'équation

dx dy

14-x* 1-+-^ on en tire, en représentant par arc tangC la constante arbitraire,

arc tanga: h- arc tongj = arc lang^ '— = arc tangC,

I ' xjr

d'où

I — xy