ÉQUATIONS DV PREMIER ORDRE ET DU PREMIER DEGRÉ

Cette méthode serait en défaut si le déterminant des équations (Â) était nul. En posant, dans ce cas.

/r, ax -\- bjr

: tf,

l'équation devient

«tr-h

(c'+ ku) du - ak) u -\- bc — ac'

Si Ton avait,

de plus,

a b c alors l'équation proposée pourrait s'écrire sous la forme

[aa; -h- bjr -^ c) [dx -|- kdjr) = o,

et elle serait vérifiée soit en prenant dx-\-kdy = o, d'où

ax H- a' y -f- C = o,

ce qui donne l'intégrale générale ; soit en prenant

ax -♦- 6^ -i- c zir o,

solution étrangère en général, intégrale particulière lorsqu'on a

On aurait atteint le même but en prenant pour variables i/r=flj:-h^^-t-c, v^= a'x -4- b'jr -H c' ,

818. On peut employer pour la même équation différentielle une autre transformation, qui consiste à faire disparaître x dans le coefficient de dxy ely dans le coefficient de dy-j ce qui permet de séparer immédiatement les variables. Pour cela, posons

En substituant ces valeurs, et identifiant l'équation ainsi obtenue avec une équation de la forme

334 LIVEB IV. — CHAP. Il, § I.

on trouve les conditions

On en lire d'abord

d'où Ton conclut que X| et ^2 sont les racines de l'équation du second degré

Ces racines trouvées, les équations font connaître les valeurs de g, A, g'j A'; etc.

819. Une équation peut quelquefois devenir homogène par rapport à X et à Zy lorsqu'on pose^ = -• Par cette transforma tioD, elle doit prendre alors la forme

f'" y ( - j rfx -H x"»;^ ( - j </3 — o,

OU, en mettant pour z sa valeur -9

ou encore

équation qui peut se ramener à la forme

éLx dY

Exemple. — Soit Téquation

(a* -^-xy^djzzz .rjr^djc;

on peut l'écrire sous la forme