Soit encore Téquation
x"* [aydx -+- bxdjr) -h 7" [a' ydx -^ h'xdy) -- o,
ou
(rtLc"» -h rt'^" ) — -f- ( hj^' -h h' y'' ) -^ = o.
En faisant a:"' == ^ , j" ;= r?, on a
dlr //Ç dy dti ^ ml y nn
et Inéquation prend la forme homogène
^ ' mÇ ^ ' nt,
821. IV. Equations linéaires. — On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre une équation différentielle dans laquelle la fonction j^ et sa dérivée j' n'entrent qu'au premier degré, et sans être multipliées Tune par l'autre. La forme générale d'une telle équation est ainsi
P et Q étant des fonctions de la seule variable x. Pour intégrer cette équation, que Ton peut écrire
dy-\-^ydx=iq^dx, posons
u elvf étant des facteurs indéterminés, dont l'un peut être pris ar-
336 LIVRE IV. — CHAP. II, S l-
bilrairement. On en tîre rfy^= i'du -f- udi^, et Téquation proposée prend la forme
(3) uldv-^-vVdx) -i- crftf — Qdlr.
Choisissons \f de manière à faire disparaître le premier terme, en
posant
dv -h i^Vdx =z o, d'où p =z A erS^dx^
A étant une constante arbitraire. L'équation, réduite alors à la forme
vdu r= Qd[r,
devient, en mettant pour ç> la valeur obtenue,
du^^eS^d'(ldjc, d'où urr^C-^-^feS^dxç^dx,
et, par suite, en écrivant G au lieu de AC,
On voit que cette expression est indépendante de la constante A, que Ton aurait pu prendre tout d'abord égale à Tunité. On pouvait le prévoir d'avance, en remarquant que le choix de y était tout à fait arbitraire, et que, pour faire disparaître le premier terme de l'équation (3), il suffisait de prendre pour v^ une intégrale particulière quelconque de l'équation dvf -+- v^Vdx = o.
822. On peut arriver à la même intégration par la méthode générale de la variation des constantes arbitraires. Considérons d'abord, au lieu de l'équation (i), l'équation sans second membre ou équation linéaire homogène
djr -h Pjctr = 0.
L'intégrale de cette équation sera
Cherchons maintenant à représenter l'intégrale de V équation com-^ plète (i) par une expression de même forme, mais dans laquelle on remplacera la constante C par une fonction inconnue u de la variable x. Cela revient à prendre pour nouvelle inconnue jr di-
