II. Soit la spirale hyperbolique r = -- On a r = oo pour

»=a = o. Ensuite r'= -^ d'où Sf= — a; donc la sous-

tangente a pour limite — a, ce qui détermine la tangente limite ou Tasymptote.

536. Il y a des cas où la courbe a une asymptote, sans que pour cela la tangente à Tinfini tende vers une limite déterminée. Considérons, par exemple, la courbe qui a pour équation

a -+- sinx

a étant ]> i et /» positif. On a d'abord j^ = o pour x infini ; donc Taxe des x est une asymptote. Mais, si Ton cherche la limite de la tangente, on trouve bien que

dy cosx Aw{a + sin.r)

dx ■" x"' jt'"-»-*

a toujours pour limite zéro ; mais l'ordonnée à l'origine de la tangente

dy (i — m][a -\- sin.r) cos.r

aura pour limite

„ cosjr — 11m : t

quantité nulle pour m ^ i (auquel cas la limite de la tangente est l'asymptote), indéterminée et oscillant entre — i et H- i pour m = i , oscillant entre — 00 et + 00 pour m <[ i .

Pour nous rendre compte de cette circonstance, remarquons que,