ASYMPTOTES ET LIMITES DE TANGENTES

dans les environs du point de contact, situé à une distance infini-

dy m m m Y

ment grande de l'origine, — ayant pour limite lim -i et le point

de contact étant infiniment voisin de Tasymptote, la tangente, dans un intervalle fini à partir de ce point de contact, difilérera infiniment peu de Tasymptote. Mais, si l'on remonte jusqu'à l'axe des^, situé à une distance infiniment grande du point de contact, l'ordonnée de la tangente par rapport à l'asymptote sera le produit d'un coefficient angulaire infiniment petit par une abscisse infiniment grande. Or rien ne prouve donc que ce produit ait pour limite zéro, ni qu'il tende vers une limite déterminée.

§ in.

LONGUEUR d'un ARC DE COURBE. ANGLE DE CONTINGENCE.

DÉTERMINATION DU SENS DE LA CONCAVITÉ d'uNE COURBE.

537. On sait, par la XX* proposition du P"^ Livre d'Euclide, que dans un triangle un côté quelconque est moindre que la somme des deux autres, d'où il résulte : i** que la différence de deux côtés d'un triangle est moindre que le troisième côté; 2® qu'un côté quelconque d'un polygone fermé est moindre que la somme de tous les autres.

Si donc un triangle a un seul angle infiniment petit, la différence entre les côtés qui comprennent cet angle est moindre que le troisième côté, et, comme celui-ci est infiniment petit par rapport à chacun des deux autres, il s'ensuit que la différence des côtés qui comprennent l'angle infiniment petit est infiniment petite par rapport à chacun de ces deux côtés ; ou, en d'autres termes, que les deux côtés d'un angle infiniment petit d'un triangle, dont les deux autres angles sont finis, diffèrent entre eux infiniment peu.

Si l'un des deux angles finis est droit, cette différence est même infiniment petite du second ordre par rapport -à chacun de ces côtés; car, a, i, c étant les côtés d'un triangle rectangle,

a«-A«=c«, d'où = z(-l5

quantité infiniment petite du second ordre, si c est infiniment petit par rapport à a.

On en conclut que, si un triangle a deux de ses angles infiniment petits, la différence entre le plus grand côté et la somme des deux autres est infiniment petite du second ordre par rapport à ce plus grand côté.

11 en est de même pour la différence entre un côté d'un polygone et la somme de tous les autres, lorsque tous ceux-ci forment avec le premier des angles infiniment petits.

838. Soit donné un arc de courbe plane. Nous supposerons cet arc connexe, c'est-à-dire tel qu'un rayon vecteur, mené par un point fixe, parallèlement à chaque position de la tangente, tandis que le point de contact parcourt l'arc d'une extrémité à l'autre, se déplace en tournant toujours dans le même sens, sans jamais revenir en arrière.

Admettons, en outre, pour plus de simplicité, que l'arc soit tel que l'angle des deux positions extrêmes du rayon parallèle à la tangente soit moindre que deux angles droits, de sorte que les tangentes extrêmes et la corde de l'arc forment un triangle contenant l'arc dans son intérieur.

Si ces conditions n'étalent pas remplies, on partagerait l'arc en portions pour lesquelles les deux conditions eussent lieu.

Si à cet arc AB on inscrit et l'on circonscrit deux polygones quelconques, les longueurs des périmètres de ces polygones seront toujours comprises entre celle de la corde AB et la somme AT -h TB des tangentes extrêmes. Donc ces périmètres auront toujours des longueurs finies, quels que soient les nombres de leurs côtés.

Si l'on subdivise les arcs, en introduisant de nouveaux sommets et de nouveaux points de contact, le périmètre du polygone inscrit augmente, celui du polygone circonscrit diminue, et, de plus, le périmètre du polygone inscrit est toujours moindre que celui du polygone circonscrit.

Soit maintenant AM {Jig. 43) un arc infiniment petit. La corde AM fera un angle infiniment petit avec la tangente en un point quelconque de Tare AM, ainsi qu'avec toute corde sous-tendant une portion quelconque de l'arc AM. Il résulte de là : i** que la corde infiniment petite AM diffère infiniment peu de toute portion de polygone infinitésimal circonscrit à la courbe, comprise entre les ordonnées des extrémités A et M; a^ que cette

LONGUEUR d'un ARC DE COURBE. 3l

corde diffère inûniment peu de toute ligne polygonale inscrite dans l'arc AM.

Il s'ensuit de là que la somme des cordes infiniment petites, ou le périmètre d'un polygone inscrit, dont tous les côtés sont infiniment petits, diffère infiniment peu du périmètre d'un polygone

infinitésimal circonscrit au même arc fini ÂB. Si donc on multiplie indéfiniment le nombre des côtés des deux polygones, les deux périmètres, l'un croissant, l'autre décroissant, et différant l'un de l'autre infiniment peu, tendront vers une limite commune, plus grande que chacun des polygones inscrits, plus petite que chacun des polygones circonscrits.

On verrait, d'ailleurs, par un raisonnement tout pareil à celui du n° 237, que celle limite est indépendante du mode de subdivision de l'arc en parties infiniment petites par les sommets du polygone inscrit ou les points de contact du polygone circonscrit.

Cette limite commune des périmèlres des polygones inscrits et circonscrits à un arc de courbe est ce qu'on nomme la longueur de l'arc de courbe.

Cette limite jouit de toutes les propriétés des polygones inscrits et circonscrits, indépendantes du nombre des côtés.

539. Si l'on considère un arc infiniment petit, compris entre les

points {xjj) et [x -\' dxy j -\^ dj), sa corde ds --= yjdx^ -f- r/j * différera infiniment peu d'un polygone quelconque, inscrit ou circonscrit à cet arc. Elle différera donc aussi infiniment peu de la longueur de l'arc ; donc on peul, aux infiniment petits près d*ordre supérieur au premier, prendre la corde ds pour la longueur même de l'arc infiniment petit, et la longueur d'un arc fini sera égale à la limite de la somme de ces éléments infiniment petits ds. Ainsi la longueur d'un arc de courbe dont les extrémités ont

pour abscisses Xo et X sera exprimée par Tintégrale

Remarquons, de plus, que la différence entre la corde et un quelconque des polygones inscrits ou circonscrits à Tare infinitésimal, est infiniment petite du second ordre par rapport à la corde; elle est donc, absolument parlant, du troisième ordre. Donc un arc infiniment petit diffère de sa corde d^un infiniment petit du troisième ordre.

540. Le calcul de Fintégrale qui exprime la longueur d'un arc de courbe constitue le problème de la rectification de cette courbe. Donnons-en quelques exemples.