Soit cj(x) une fonction donnée de j?, et désignons par
n[x)dx, prise à partir d'une limita con-
stante a. On propose de trouver la relation qui doit exister entre trois arguments x,j^, z pour que l'on ait, entre les valeurs correspondantes de la transcendante II, la relation
Pour cela, supposons z constant, et, par suite, Jl{z) égal à une constante C. En différentiant l'équation (i), on a l'équation diflerentielle
[2) Tn[x)dx -h Ej(j)r/r :^ o,
dont l'intégrale générale s'obtient immédiatement sous la forme
n(j:) -hii(r) = c.
Supposons que, par un moyen quelconque, on ait obtenu la même
ADDITION DES TRANSCENDANTES. 34l
intégrale générale sous une autre forme
Si dans Téquation Tl(^x) 4- EL (j^) = G on fait x = a,Il (x) s'annule et Tl[y) devient égal à G, c'est-à-dire à n(z), d'oiij=z pour X =1 a. Introduisant ces substitutions dans l'équation (3), elle devient F (fl, z)= G', et, par suite, on a, pour la relation cherchée entre les arguments a:,j^', «,
Si Ton représente par m, i^ les intégrales II( j:), H (j)'), et par
les fonctions inverses de ces intégrales, on aura z = "^[u-^- v^), a:= ?(<>)> et la relation (4) prendra la forme
827. Exemples. — I. Si l'on définit la transcendante logx par Téquation
logx== f ±:,
considérons Téquation différentielle
dont l'intégrale immédiate est
log.r 4- log j :^ C.
Si Ton écrit l'équation différentielle sous la forme
on en tirera, en intégrant.
xy = C,
d'où (en faisant x ^^^ \ , y =r. z),
a ^ 3, xr z=. z , logx H- log j — log ( xj )
Soit f(ii) la fonction inverse de u = logj:; les deux formes de l'intégrale deviendront
En supposante ==ç(u) = i, d'oùu = o,i^== C, il vient
ff[C).=szC, ou C = logC'.
En remplaçant donc tour à tour C par m 4- j/, et C par xy, on a la formule d*addition des transcendantes logarithmiques sous les deux formes
et
logx-f-log^ =log(xj).
