II. Si Ton pose, par définition
Téquation difTérentielle
aura pour intégrale
On peut d'ailleurs écrire Téquation (or) sous la forme
= r£r H-rfj-f- (^ -Hj — .r)jdlr-h [x -\' y — y] x dy --[\ — xy)d[x->ry)—[x^y)d[\'-xy),
ou, en divisant par (i — ^jY^
7) d '- =0^ d où = C
^ ' ' I — j^- I — xy
Soit maintenant tangu la fonction inverse de u = Jl[x). En faisant X = = tango, d'où ç» = C, j =-• tangC, il vient
tongC — C
Donc
tang w-f-p = ^ 2,
^ ' I — tangMtangp
et, en remplaçant II [x) par arc tango:,
arc tangjr -+- arc tang^ = arc tang •
I xjr
On trouverait de la même manière la formule analogue relative aux tangentes hyperboliques.
m. Si l'on pose
n(.r)=/ -^=., Jo V ' — -^
Téquation diffiérentielle
elx dr
aura pour intégrale transcendante
n(x)-t-n(j)izzC.
Cherchons maintenant une intégrale algébrique de cette même équation. Pour cela, posons
dr dy ,
-=:du^
d'où
dx , dr 7
En élevant au carré ces deux équations, et différentiant par rapport à la variable indépendante ix, on a
d'où
'dû^'^~''' dij^"^'
Posons maintenant
les équations précédentes donneront
dp dq d.T^ dr^
dû du ~ du* ~ dV^ = — P^I^
d'où Ton tîre, par division,
d^p dp
du* T Hu dq
-——-=-, ou -—- = -', dp dq q dp q
du du du
équation connue [812 et 827, I], d'où Ton conclut
dp
et Ton a de même
A et B étant des constantes arbitraires. En substituant à /', q,
-7-5 -7- leurs valeurs ci-dessus, il vient du du
^/V --p -+. fi .ryt ^B[^x-\- y) , équations d*où résulte entre les deux constantes la condition
ABrr^— I.
On en tire, par addition et soustraction,
A -+- B Entre les équations (a) éliminons : il vient
d'où
On a donc
( ^ ) j- v^' I — . r« H- ^> V I — -^* — tr .
En faisant maintenant rî(x) = u, n(j ) = ^', j:=^ ^(m), j' = ]>(*'), il vient, pour x =:^ o, m =^ o, v = C, y = y (C), d'où, en vertu de Téquation (i).
Donc, en remplaçant f par la notation ordinaire sin, réquation(£)
devient
sin u cosp H- sinf cosm = sin ( m h- c ) .
De même, en éliminant entre les équations [a), il vient
d'où
r .r* - .,-» ) ( v/7-T* v/^7-^ - 'Ky)
Pour x= o, j := sinC, il vient
Donc
cosi/ cosi' — sintf sin(' = cos(£i -l- i').
