IV. Soit le polynôme du quatrième degré

346 LIVHE IV. — CHAP. Il, § II.

et posons, pour abréger,

Cherchons une intégrale algébrique de Téquatîon difTérentielIe

dx dy

d*oii dépend la propriété fondamentale de la transcendante

\\[x] rr: f --^.

Pour cela, posons

dx dy

— . .— ~ — du.

On en tire

__ r/x* ,^ dxd^x , , ^ ^ ^ . -

X=-7— ) aX :2 — " : (iax' -r- 3<7i.i'-4- 2rt,.r-h «j)ax,

(lu* du^ \ M .

d'où

d^x / , o • 'i ——7 = aax^ -h oatx^ -4- ia»x -f- «3,

et de même

Si l'on pose maintenant x -f- j =z p^ x — j^ = q, la dernière équation devient

. dp dq w' -4- 7* 3/>* -h 7*

__I rr- ^;?7 U fl,7 — h fl,/?7 H- «37»

et de l'addition des deux équations précédentes on tire

2 -^ =r û/?(/l= 4- 37») -f- -Ji (/>« + 7» ) -f- 2«,/7 + 211,.

En éliminant a^p + aj entre les deux dernières équations, il vient

d^p tlpdq ,

ADDITION DBS TRANSCENDANTES. 347

d'où

dp tPp dp*dq dp*

= -^ = iapdp + a^dp.

et, en intégrant,

OU, en mettant pour -/- sa valeur — — |- -— = JX — \/Y,

^ du du au ^ ^

ce qui est l'intégrale algébrique de Téquation proposée.

La fonction 11(0:) contient comme cas particulier l'intégrale elliptique de première espèce

r^ dr

et de l'intégrale précédente on pourrait tirer le théorème d'addition des fonctions elliptiques. Mais, pour éviter des calculs pénibles, traitons directement l'intégrale u, ramenée à sa forme normale.