V. Pour intégrer l'équation

dx dy

v/'i — .r*v^i— /«.r* ^i—jri^i À«y

posons X = sin(p, y =zsiny^, d'où, en faisant Aç = y i — /r^sin-cp, Téquation différentielle devient

Si l'on pose

l'équation a pour intégrale immédiate

Pour obtenir une intégrale algébrique, posons (Poil l'on tire

Elevant ces deux équations au carré, et difTérentiant^ il vient

d^9 1 — ^ = — ik^ siny cosy r- - X* sinri^,

a —— = — 'i X' sinx cos x =^ ~ ^'' sin 2 ;^.

Si Ton pose (p-f-;^r=^, q) — 'f^^=z q^ ces équations donnent — ^=:— -- X*[sin(;7-|- ^) -î sin(/? — 7)]= " X'sinpcos^,

et de même

On a d^ailleurs

d'où

— -^ -=: — X' cosw sin q, du*

dp dq

, -- — X* sin (y -4- yj) sin (?> — x) -*- — X* sin/i sin 7.

On tire de là

d^p d*p dq

ai/' cos 7 fiu* du

— ^, ou -, =^ — : — 7 ^a^ sm^ dp sinq

du* du

d'où

(i) ^^r^Asiny,

A étant une constante arbitraire. On trouve de même, B étant une autre constante,

( 9. 1 -/ z= B sin» .

^ du ^

De ces deux équations on tire, en éliminant du,

A sin qdq-^B sinpdp^

d^où, en intégrant de nouveau,

[')] A cos<7 — B cosp -h C -^ o.

En mettant, dans les équations (i) et (a), pour -j — i leurs valeurs, on a

Asin(î. -x; ^ A?— ^Xf B sin{f -\- y^] -- If -+- ^x^

Soit maintenant a ce que devient ;j pour ç = o. Ces équations

donneront

— A sin 0- =: 1 — Ao",

B sine- = I -h A<j, et Téquation (3), ou

;4) Acos(^ — X) — Bcos(y-4-x)4-C' = o,

donnera C'= (B — A) coso',d'où

At — I At -f- I 1 coso- A = ; > B = — ; 9 C :^ — : •

Sin (7 sm<7 smo-

Substituant ces valeurs dans l'équation (4); et réduisant, on en

tire

cos(r;= cosy cos;^ — sin ^ sin ;^ Ag*.

Soit maintenant ami/( amplitude de u) = f la fonction inverse de l'intégrale u = F[f). On aura

et la formule précédente deviendra

cosam(i/ + i'] = cosamu cosamp — sinamu sinamt'Aam(a + v)^

formule d'addition des fonctions elliptiques, d'oii l'on peut tirer un grand nombre de formules analogues.

35o LIVRE IV. — CHAP. II, § III.