LONGUEUR D UN ARC DE COURBE

m. L'équation de la spirale d'Archimède étant r = ap^ on en tire dr = adpj et par suite [515]

ds*=zdr*'h r*dp^=a*dp*(i'{'P^)^ d'où sz=af(ip^i -h/>*. Si Ton pose /? = Sh(f , il vient

ou enfin, en comptant Tare 5 à partir de Torigine, ce qui donne C = o,

541. Soient M(a:,j^), M'(x4-A,^i) deux points infiniment voisins, pris sur une courbe j^=y(j:). Désignons, sans distinction, par e toute quantité qui devient infiniment petite en même temps que h. On aura, en poussant plus ou moins loin le développement par la série de Taylor,

Ayant ainsi les tangentes des angles M'Mx, TMx, T'M'j: {fig» 44)>

on en tire, pour les tangentes des difi<érences de ces angles deux à deux,

ungM'MT= ^^yr*' =-^-^(1 + .).

H. — Cours dâ Cale, infin,, II. 3

On a donc y à des infiniment petils du second ordre près,

M'MA=:: MM'A r= 1 T AT.

L*angle M'AT de deux tangentes infiniment voisines s^appelle Yangle de contingence. On peut le considérer comme égal à sa tangente, et il vient, en désignant cet angle par ^r,

C'est ce que Ton aurait pu obtenir directement, en différentiant

Téquation

T = arctaDgy.

On voit, en même temps, que le triangle AMM ' est isoscèle, de sorte que les tangentes issues d'up point infiniment voisin de la courbe sont égales (aux infiniment petits près d'ordre supérieur au premier).

L'angle M'MT de la corde avec la tangente est égal à la moitié de l'angle de contingence correspondant à l'arc sous-tendu par cette corde.

Le rapport -î-^ — étant infiniment peu difl*érent dej', on peut écrire, en remplaçant h par dx, j^ — j par rfy,

tangrAT^tangrf.= — c'est-à-dire

542. On a ensuite, pour la distance du point A à la corde, AP = i MM' tangTMM' = - — (n- s) = i dsdr,

aux infiniment petits près du troisième ordre, c'est-à-dire

■* 4 ds