ÉQUATIONS DE DEGRÉ SUPÉRIEUR EN J

nera une équation différentielle

On peut grouper toutes les équations (3) sous la forme d'une seule équation, en égalant à zéro le produit des quantités qui s'annulent en vertu de ces équations, ce qui donne l'équation

(5) (C,-tt,)(C,-«,;..--=o,

qui est équivalente à l'équation (i). Comme un seul des facteurs doit s'annuler, les fonctions Uf, u^, ... ne pouvant, en général, rester constantes en même temps, il importe peu de désigner, dans ces divers facteurs, les constantes arbitraires par la même notation ou par des notations différentes; de sorte que, au lieu de Téquation (5), on peut prendre l'équation équivalente

(6) (c — tt,;(c — ii,\..^o.

Cette dernière forme a sur la précédente (5) l'avantage de pouvoir se simplifier par des réductions, ce qui ramène à l'équation (i).

Cela revient à considérer les diverses séries de courbes représentées par les équations (3), séries qui seront tout aussi complètement représentées si, au lieu de désigner les constantes arbitraires par Cl, C2, ..., on les désigne toutes par le même symbole C. Lorsqu'on fait le produit (5) des équations

l/j — Cl ^-^ 0, l/j — C, rr:: O, ...,

si l'on établit entre d, Cj, ... une relation quelconque,, celle d'égalité par exemple, cela revient à associer ces diverses courbes de certaines manières; mais, en donnant à C toutes les valeurs possibles, la série des groupes comprendra toutes les séries particulières représentées par les équations (3).

Ainsi les intégrales des équations (4), auxquelles équivaut l'équation (2), seront aussi complètement représentées par l'équation (6) que parles équations (3) ou par l'équation équivalente (5). On peut s'en rendre compte en considérant la représentation géométrique que nous avons indiquée au n® 786. Ici la surface représentée par l'équation (i), et dont Tordonnéc est C, se composera

de plusieurs nappes, et l'on obtiendra Tensemble de toutes les lignes de niveau de la surface soit en menant une série unique de plans horizontaux dont chacun coupe les diverses nappes , soit en coupant séparément chaque nappe par une série particulière de plans horizontaux.

844. Réciproquement, étant donnée Féquation différentielle (a), pour rintégrer, on commencera par la décomposer en facteurs du

dr premier degré par rapport à -, 9 en la mettant sous la forme

ce qui revient à poser les équations (4)* Si Ton intègre celles-ci séparément, et qu'on suppose les intégrales mises sous la forme (3), on pourra réunir ces intégrales sous la forme (5), ou, ce qui revient au même, sous la forme (6).

Exemples. — I. Soit donnée l'équation différentielle

a*/" — xy =r= o.

On en tire pour j ' les deux valeurs

:^ ' — -f- - v^', y -= — - v^xr ,

qui correspondent aux intégrales

Le produit de ces deux équations se présente sous la forme plus simple

iù-

-cr-

Soit

l'équation

/Iq, Al, . • ., On étant des constantes. Si Ton désigne par p^, pt, . . . , Pa les /i racines constantes de cette équation, on verra qu'elle

ÉQUATIONS DE DEGRE SUPERIEUR EN y* , 369

équivaut aux n équations difTérentielles

dont les intégrales sont ou

— 7^1 = o, — Pt = o, ..., — /?»=o.

Si Ton fait le produit de ces équations, on obtiendra un polynôme qui ne sera autre chose que ce que devient le premier membre de

Téquation proposée, lorsqu'on y remplace ^ par - — ^^ c'està-dire

845. Il y a des cas où Ton peut intégrer Féquation différentielle (2) sans avoir besoin de la résoudre par rapport à —-•

i^ Supposons que Téquation ne contienne qu'une seule des variables Xfj-y par exemple x, de sorte que l'on ait

Si l'on peut résoudre l'équation par rapport à x, elle deviendra

d'où l'on tire, en différentiant, et remarquant que dx = -^>

dy=y^-[y')dy, et, en iatégrant,

L'élimination de^' entre les équations (i) et (2) donnera l'intégrale cherchée.

De même, de l'équation

H. — Cours de Cale, in/înit,, II. 24

résolue par rapport ky et mise sous la forme

on tire, à cause de dj ^^ydx,

d'où

(4) X =-. J ''^p dy -i- c,

équation qui, combinée avec (3), donnera Tintégrale demandée. Exemples. — I. De Téquation

on tire

d'où, en éliminant j \

On aurait pu aussi obtenir ce résultat en mettant Téquation proposée sous la forme

dr ~ (.r — lydr.