Une équation de la forme

^?(/)+rx(r')=+(y)

peut se changer, par difierentiation, en une équation linéaire soit

, , d.K . , dy

par. rapport a x et a -— > soit par rapport a j^ et à -t^> comme on

peut s'en assurer immédiatement en différentiant et éliminant soitj^, soit X.

ÉQUATIONS DB DEGRÉ SUPÉRIEUR EN y\ 871

Exemple, — Soit réquation

Elle donne, en différentlant,

lie -{- y dy -h j f//' z= 2 ay tiy ,

En éliminant^ et dy^ il vient

ay'* — X

ou

dx -^y^dx -+- -^ — - — dy = lay dy.

dv X a y'

dont rintégrale est [821 ]

x=-jL=^[c^a\o^{y-^y/r;ryi)i

ce qui donne

y = ay- -^-^-JC-f-alog(/-Hv'i -+-/•)].

VI 4-y*

On serait arrivé au même résultat en éliminant x et dx.

847. 3** Equation de Clairaut. — Comme cas particulier de réquation du numéro précédent, considérons Téquation

(.) ^ = xr'+/(r').

On en tire, en diiTérentiant,

ce qui donne les deux solutions

(3) ^ = 0, d'où y = c.

Cette dernière solution, combinée avec (i), donne l'intégrale générale

(4) y^Cx+f'.C).

37a LIVRE IV. — CHAP. II, § IV.

L^autre équation^ qui donne pour j^' une valeur variable, et qui, par conséquent, ne peut rentrer dans l'intégrale générale, est une solution singulière.

Exemples, — I. L'équation

(jr/—j)v^i -+-/* = «/, OU x=f'^ r^=ïi'

SI H-r

donne, en différentiant,

d'où l'on tire d'abord et par suite

puis, en égalant à zéro l'autre facteur,

-^, d'où y=zx *V«'--^S etc.

II. Nous avons trouvé [689], pour l'équation différentielle des lignes de courbure d'une surface à centre du second degré,

xr(A + By») — (A.T«-+- Bj«-i- K)y= o.

Si l'on pose x* = $, j^^ = 13, -7z = >î', l'équation, résolue par rapport à Y} y prend la forme

équation de Clairaut, dont l'intégrale générale est, en remettant pour ^ et y) leurs valeurs,

On a la solution singulière, en éliminant n' entre Téquation (A) et sa dérivée par rapport à r/,

KA

ÉQUATIONS DE DEGRÉ SUPÉRIEUR EN y'. SjS