Étant données deux équations de la forme

si leur dififérentiation conduit à une même équation différentielle du second ordre

il s'ensuivra de là que les équations (i) sont deux intégrales premières de Téquation (2), dont on obtiendra l'intégrale générale en éliminant^' entre ces équations (i). Si l'on égale à zéro une fonction quelconque des premiers membres^ et ;( des équations (i), l'équation obtenue

pourra remplacer l'une des équations (i), la seconde, par exemple, dans laquelle la constante C serait particularisée et déterminée au moyen de C par la condition

En éliminant donc j^' entre l'équation çj> == C et l'équation (3), on aura l'intégrale de (2), dans laquelle il ne restera plus, en vertu de (4)> qu'une seule constante arbitraire. On aura donc une équation primitive, satisfaisant à l'équation du premier ordre (3), et ne renfermant qu'une constante arbitraire. Ce sera donc l'intégrale générale de (3).

Si donc, étant donnée une équation différentielle y (x,^,^ ') ^^ ^> on peut la mettre sous la forme (3), où y = C et ;j = C conduisent par la différentiation à une même équation différentielle du second ordre, on aura l'intégrale générale de l'équation proposée en éliminant j^' entre cette équation et l'une des équations (i).

Exemples, — I. Reprenons l'équation de Clairaut

jr==x/-h/(/).

On peut la mettre sous la forme

Cl, comme chacune des équations

conduit, par la difTérentiation , à la même équation du second ordre d/y' = o, on en conclut que les équations (a) sont les intéj;ralc5 premières d^une même équation différentielle. On aura donc I*intégrale générale, en éliminant j' entre Téquation proposée et l'une des équations (<i), la seconde par exemple, qui donne

y-=^C\ d'où j^C"x-f-/(C''), ( omme nous l'avions trouvé plus haut.