CARACTERES DES SOLUTIONS SINGULIERES
nérale. Pour cela, posons x = rcospyj = sinp; il viendra
— r^dp = — ^€lr^ -h ^dp^9 OU, en faisant abstraction de la solution /-^ = o,
Cette équation est vérifiée par 4^" — ^'^ = o, rfr^^o; en laissant encore de côté cette solution, il vient
fip=z —= — - f d*où r:^ 2a5in(/? 4- C), y4û* — '■*
ou, en remplaçant sinC par C,
(j: — rtC)* -l- (^ — rt y^V— "C*)^ = a\
équation d*un cercle de rayon a, passant par Torigine et ayant pour enveloppe le système des deux cercles r = o et r = 2a.
859. Mais ce caractère n'est pas toujours décisif, les enveloppées pouvant avoir dans certains cas avec l'enveloppe un contact d'ordre infini.
Soit, par exemple, l'équation difierentielle
(«) y==r(logJ;^
L'équation -— = oo donne la solution j^ = o, qui satisfait à Téqua-
tion difl*érentielle [38S], et qui donne pour toutes les dérivées j'', }'", ... des valeurs nulles. On tire de l'équation diffiérentielle
/'=r[(iogr)*-4-2(iogj]3],
et cette dérivée s'annule avec y. On verrait de même que toutes les dérivées suivantes s'annulent également, en vertu de l'équation diS*érentielle aussi bien qu'en vertu de la solution^ = o.
Mais, si l'on cherche l'intégrale générale de l'équation (i), laquelle est
on voit que cette intégrale ne peut se réduire kj = o pour aucune
valeur constante de C. Donc, malgré Tidentité des dérivées pour y = o, cette solution est une solution singulière de l'équation différentielle.
Il est donc indispensable d'avoir un autre critérium pour distinguer les solutions singulières à Taide de Téquation difTérentielle elle-même. Nous allons exposer la méthode découverte par P. -H. Blanchety ancien maître de conférences à l'École Normale, et qui nous a été communiquée par l'auteur en i84ti-
860. Supposons l'équation différentielle résolue par rapport 'dj\ et mise sous la forme
et soit
son intégrale générale. Soit donnée une solution
(3) .rr^X = ?(*),
sans constante arbitraire, et satisfaisant à l'équation diflférentielle (i). Il s'agît de savoir si j- = X est une intégrale particulière ou une solution singulière de l'équation (1).
Puisque V et X sont des solutions de l'équation (i), on doit avoir identiquement, quelle que soit la valeur de C [ 829],
Multiplions les deux membres par dxy et intégrons entre deux limites Xq et x, entre lesquelles on suppose que la valeur (a) de^' ne passe pas par l'infîni pour la valeur attribuée à la constante C, et que la fonction sous le signe y, ainsi que les autres analogues que nous rencontrerons, ne change pas de signe. Il vient alors
(5) log- — = /
V 0? Xo étant les valeurs des fonctions V, X pour x == x©.
CARÀGTÂRES DES SOLCTTIONS SINGULIÈRES. Sgi
Attribuons maintenant à la constante C une valeur Co telle que Ton ait
La fonction sous le signe J prendra, pour la limite inférieure Xo de rintégrale, la valeur limite
lin, /(fî^I]£ /(fî!^^ =./; (^„ x.^
Si la dérivée partielle ^y' ( x, X) a une valeur finie, quel que soit X entre les limites x^ et Xy alors Tintégrale du second membre
de (5), ayant tous ses éléments finis, aura une valeur finie. Donc
le premier membre log — - ne pourra être infini. Mais le dé-
Vq — Xo
nominateur s'annule pour C = Cq ; il faut donc que Ton ait aussi, pour C= Co, V =^X. Donc la solution j^ = X se déduit de l'intégrale générale j^ = V, en attribuant à la constante G une valeur convenable ; àoxïx^y = X est une intégrale particulière. Ainsi toute
solution qui donne pour -^ une valeur finie est une intégrale particulière.
Si^' {Xy V) est infiniment grand d'un ordre fi^m pour V infiniment voisin de X, en le multipliant par (V — X)'", le produit restera infini, ou du moins ne s'annulera pas. Donc la quantité
(6) l[(v-X)'"-(V.-X„)"'] = jr''^^Ç^|^,^^'^
sera finie ou infinie, mais non = o, puisque les éléments de l'intégrale sont finis ou infinis, et tous de même signe. On ne peut donc avoir V = X en même temps que Vo = Xq. Donc si, pour j)^ = X,
-T- est infini d'un ordre [x^m]^ o, X sera une solution singulière.
Si l'ordre infinitésimal de -^- est zéro, comme celui de logo [187], alors la quantité
./(V-X) log( V--X )
^ (V-X)log(V-X) ''^iog(Vo-Xol
(V-X)log(V-X)
dx
ne sera pas infinie si la valeur de
flog
n'est pas infinie. Alors V — X s'annulera pour C = Co, elj = X sera une intégrale particulière.
Si cette limite est infinie de Tordre de (logo)-*, en prenant 7//^p, l'expression
,g \ '«|[log(V-X)]- [log{Vo-Xo)]
ne sera pas nulle; donc V — X n'est pas nul, et j =X est une solution singulière.
En continuant ainsi, on verra que j = X est une solution particulière si, pour e infiniment petit, elle rend finie la limite de Tune des expressions
/(j:, r-h« )— /(.r , y) s loge
t logi loglogs
Ce sera, au contraire, une solution singulière si, pour une valeur positive et finie, mais aussi petite que Ton voudra, de m, elle rend infinie la limite de l'un des rapports
jl— m
/(j%r-ht)--/(.r^r) t(logf )•■+-'« " '
Iogï(logloge]
