J VI - V
Si Ton demande, par exemple, que le rayon de courbure soit en
raison inverse de Tabscisse, en prenant X = — 9 il viendra
a:- 4" C = " î d OU J' = 1 —- - ■ — — = H- C .
? a OU j== ( —^ • - — —
La courbe représentée par celte équation est connue sous le nom de courbe élastique. C'est la forme qu'aflecte une lame élastique dont une des extrémités est fixée, Tautre supportant un poids.
871. Si c'est la variable indépendante x qui n^entre pas dans Téquation différentielle, celle-ci étant de la forme
on ramènera ce cas au précédent en prenant x pour nouvelle variable dépendante, et exprimant les dérivées j', j", . . ., j^"^
dej par rapport à a: au moyen des dérivées x'= —y a'' = -j-^j > • • •> x^"^ = — ^ de X par rapport à j\
Ainsi on aura j'=— »j^"-= — ^^? D'après cela, Téquation
deviendra
- % =/{}■) ou - '-^ =f{x) dy.
ABAISSEMENT DE l'oRDRE DBS ÉQUATIONS. 4o5
Si Téquation ne contenait que les dérivées de y k partir de la p»*"«, et qu'elle fût de la forme
on rabaisserait d'abord à l'ordre n — /> en prenant j^^/*^ comme fonction Inconnue; puis on l'abaisserait encore d'une unité en
prenant j^p^ comme variable Indépendante et .t/=^ -fTp] P^^rnou-
velle fonction Inconnue. Ayant obtenu, par l'Intégration, une relation entre ^^^^ x' et n — p — i constantes arbitraires, on la ramènera, par des quadratures,»d'abord à une relation entre y^^P^ x et n — Inconstantes arbitraires, puis à une relation entre j^, x eln constantes, qui sera l'Intégrale complète.
872. On peut encore, dans le même cas, opérer l'abaissement de l'équation par un autre changement de la variable dépendante. On a, en effet, d'après la formule (2) du n*^ 867,
CUf- = — r = 7—i — >
d'où l'on tire
dy
En faisant maintenant successivement /z =^ a, 3, . . . , et substituant les valeurs Ae j",y", . . . ainsi obtenues, la variable j* étant prise pour nouvelle variable Indépendante, on trouvera
de sorte quej",j^''', . . ., j f"^ seront exprimées au moyen dej^' et de ses dérivées par rapport à^, jusqu'à l'ordre // — i. L'équation prendra donc la forme
/ , dr' d^-'r'X
En l'Intégrant, on obtiendra une relation entre ^,j^' et n — i constantes arbitraires, et l'on achèvera alors l'Intégration en résolvant cette relation soit par rapport ky, soit par rapport à^ [845].
4o6 LIVRE IV. — ClIAP. III, § If.
Ainsi une équation du second ordre se ramènera, par cette transformation, à la forme
Par exemple, Téquation j^" -z^f^j) devient [867] De même, au moyen de la formule ^
on ramènera Téquation f{) ^p\ y ^P'^^\ • • • > J ^"^) = o à la forme
rintégration donnera une équation entre j^p\ j ip^^) et n — p — i constantes arbitraires, et Ton traitera ensuite cette équation par la méthode des n^'^ 865 et 866.
873. III. Equations homogènes par rapport à y et à ses dérwées, ou, ce qui revient au même, pai* rapport à y et à ses différentielles dyj d^jj . . . , rf"j'.
Une telle équation peut s'écrire sous la forme
Si l'on pose — = c', ou y = e", on aura les égalités
— e-[z'' -h. ..-hs'3),
jCO — ff=(s(«)-+....4.2'«),
les termes non écrits dans chaque parenthèse étant des polynômes contenant seulement les dérivées de r, et tels que celui qui cor-
ABAISSEMENT DE l'oRDRB DES ÉQUATIONS. ioy
respond k y^"\ par exemple, ne dépende que des dérivées z^"''*\ 2(/i-2)^ . . . , z', et ne renferme 5' qu'à des puissances inférieures à la 71^®"®. La raison de cette loi s'aperçoit immédiatement.
En substituant ces valeurs dans l'équation proposée, et divisant par j^'", on obtient une équation qui ne renferme plus que x, z', z", . . . , 2^"^, et qui rentre dans le cas du n" 870. On voit que l'on aurait eu immédiatement une équation d'ordre n — i, en posant
Exemples. — 1 ^ Soit l'équation
x^d^jr -+■ xilxdjr — ydx^ ==: o, ou x^jr" -+- xjr' — y =.0^
homogène du premier degré en y, j\ j". Elle devient, par la transformation précédente,
OU, en multipliant par »
dx xdz' -\- z'dx -h (x'z'» — i) — = 0,
dx d[xz']
on en tire, en intégrant,
x^ ï -h .rz' , ^ .r*— C ix I
C "~ I - xz' ' "^ ^ ■"j:(x»4-C) ""i'TC^'x'
el, par suite,
Kj X
C| et C2 étant des constantes arbitraires.
On aurait pu intégrer cette équation en commençant par abaisser son ordre d'une unité [869], ce qui aurait donné
x^y — orr = c,
équation linéaire dont l'intégration conduit au même résultat que ci-dessus.
4o8 LIVBB IV. — CHAP. III, $ II.
2** Une équation différentielle linéaire sans second membre
est homogène par rapport à j^ et à ses dérivées, et, par suite, on peut abaisser son ordre d^une unité, en posant
/' étant une nouvelle fonction inconnue. Par cette substitution, Téquation (i) devient, après la suppression du facteur e^^^j
les termes non écrits qui suivent la parenthèse contenant tous en facteur quelqu'une des dérivées r', r'', . . . , r^'»-2) jg ^.^ ^^ sorte que tous ces termes s'évanouissent, comme anr^"'*^, lorsqu'on attribue à r une valeur constante.
L'équation (2) est d'un ordre moins élevé que la proposée, mais elle n'est plus linéaire. Elle peut servir cependant à trouver des intégrales particulières de la proposée, toutes les fois que son premier terme
s'évanouit, quel que soit a:, pour certaines valeurs constantes de r, c'est-à-dire lorsque l'équation
admet des racines constantes Ti, 7*2, • • • • Ces valeurs seront, en effet, des intégrales particulières de l'équation (2), ^t, par suite,
Xi = e'*!^, Xi = r'*!^, .
seront des intégrales particulières de l'équation (i), au moyen desquelles on pourra abaisser l'ordre de cette équation [881], en lui conservant la forme linéaire.
Soit, par exemple, l'équation
l'équation (3) correspondante
ABAISSEMENT DE L*ORDRE DBS EQUATIONS. 409
admet la racine ri=.i, d'où il s'ensuit que la proposée admet l'intégrale particulière j^, = e^.
874. IV. Équations homogènes par rapport à x, y et à leurs (différentielles rfx, dy, d^y, . . . , d"j.
On peut dire encore que ces équations sont homogènes lorsqu'on y considère x^y comme étant du degré i , r' du degré zéro, j" du degré — i , . . . , j^''^ du degré — [n — i).
Une telle équation peut s'écrire sous la forme
Posons maintenant
— = rt/, ou j: = e', et —=3, yzi^e^z,
On en tire
dy , dz dy dy Y
ce que Ton peut écrire sous la forme
dy
On a ensuite
d^y dx^ dy' dx , , .« , ,^
X X dx X ^ '
Pour avoir une formule générale, considérons l'expression
(f{T>t) désignant une fonction entière et rationnelle quelconque du facteur symbolique D^. Comme on a évidemment
d.f[Dt)z=zf[De)dz = dl.'Dtf{Dt)z,
on en conclut
dv =z e-^'dt,{J)t— A) f{I)t) z.
4lO LIVRE IV. — CnAP. III, l II.
De là on tire
df = e-'dt. (D^+i) Dr(D^— i) 3,
d'où
= (î^yxrf;"^.//»(D,-f-i)D,(D,-i)3,
et de même, en général, comme il est aisé de \% vérifier,
— ^ ~c//«.(D^-hi)(D,-f-o)(D,— i) ...(D| — «-h3)(Df — /i-+-2)z.
Si Ton emploie la notation des factorielles [Livre I, Exercices, p. 373] en posant
r^zn /•(/•-— i). . .(r— /i -i- i), on pourra écrire la valeur précédente sous la forme abrégée
On en tire
J('0=: ^JlZ^ e-(«-»)'. (D, 4- l)^3.
iix'*^ X ^ '
d'où
En substituant maintenant dans Téquation proposée ces valeurs de
{Ix y dv rf" y* ,
— -> —i -^j •••> î on obtiendra une équation dans laquelle
(après la suppression du facteur x"') la variable t n^entrera plus que par sa différentielle , et dont Tordre pourra s'abaisser d'une unité, d'après ce que nous avons yu dans les n*^' 871 et 872.
Exemples, — i*^ L'équation traitée au n® 873,
x^d^y -+- xdxdy — ydx^ = o,
ou
étant homogène par rapport à x, dx, y^ djj d^jy deviendra, par les substitutions précédentes, en divisant par e^,
ABAISSEMENT DE L*ORDRE DES ÉQUATIONS. 4ll
c'est-à-dire
ou, en multipliant par dt,
dz' -h iz'dt=z o, d'où
par une nouvelle intégration, on a, en remplaçant par C|,
d'où
2" Soit l'équation
na^d^y = [ydjc — ocd/y^ ou n — '— = I * ^ 1 •
On en tire
ndfi [z" -f- z' ) == [zrf/ ~ [zdt -+- rfz)]», ou n (z'' -+- V ) = «'S
n—z=iz^—nz, dou dtz=-- — ,,
at z — nz
^ t! — n n ndt .
dx
OU, en mettant pour e^ et rft leurs valeurs j: et — >
ndx y C nà^
a:rfz ' X »/ -p(i — Cx)
ou enfin
•>=''-^'°scr;^/
Autrement, en employant la transformation du n® 872, on aurait pu mettre l'équation n[z"-h z^) = z'^ sous la forme
zdz ,
n — ; — =zz^ — nz ^ dz
ou, en supprimant la solution z'= o (qui correspondrait aune intégrale particulière, pour €2 = 0),
ndz' dzz= —.
4ia Liras iv. — ghap. m, § ii.
On en lire
z'z^n-he " ,
ou, en posant e " = a,
^ ^ ndu
di z=z — . : 9 etc.
1/ (tt -f- /îj
875. V. Equations qui da^iennent homogènes, lorsqu'on jconsidère x et dx comme des quantités du premier degré, et y et ses dijfférenticlles dy, d^j^ . . . , d"j comme des quantités du degré fi.
Cela revient à considérer y comme une quantité du degré p, y comme étant du degré (x — i , . - . , r^"^ comme étant du degré fjt — n.
L'équation peut s'écrire sous la forme
„j.((lr y dy d^yX
Posons, comme précédemment,
dr , , y
— = dt, .T = e'. — =3, r = €^^z.
On en tire
-^^^rf/H---, d'où ^:=dt\^ilZ-h-j=dt[D,-hu)z,
d'où, en vertu de la formule générale démontrée dans le Quméra précédent,
d^r dr^ dv'
= dt*. (D/H- il) (Df -f- f» — i) 3.
Kn continuant ainsi, on trouvera généralement d\r
