PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE CES ÉQUATIONS

876. On appelle équation différentielle linéaire une équation différentielle dans laquelle la fonction inconnue et ses dérivées des divers ordres n'entrent qu'au premier degré et sans être multipliées entre elles.

Soit cp le signe caractéristique d'une fonction rationnelle et entière de degré n, à coefficients a^, a^, ,,,y a^ constants ou fonctions de la variable x. La forme générale d'une équation différentielle linéaire de l'ordre n, entre deux variables x ely, sera

X étant une fonction quelconque de x ou zéro.

Dans le cas où le terme X; indépendant de^ et de ses dérivées, se réduit à zéro, l'équation, qui devient alors

est dite une équation différentielle linéaire homogène ou sans second membre.

877. Une fonctionnai de x, sans constante arbitraire, qui, substituée ky dans l'équation différentielle (i), rend le premier

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DBS ÉQUATIONS LINÉAIRES. 4l^

membre de cette équation identiquement nul, est dite une inté^ grale particulière de cette équation différentielle.

Les propriétés principales des équations différentielles linéaires sans second membre sont exprimées par les propositions suivantes, dont les trois premières se vérifient immédiatement par simple substitution.

I. Si j^j est une intégrale particulière de l'équation (i), le produit Cj^i de cette intégrale par une constante quelconque sera aussi une intégrale de cette même équation.

II. Si 7i , j^2> • • • sont diverses intégrales particulières de l'équation (i), leur somme j i -HjKa^- • • • sera aussi une intégrale de la même équation.

III. En combinant les deux propositions précédentes, on en conclut que, si j^^, JTa? ••• sont des intégrales particulières de l'équation (i), et C|, C^^ . . • des constantes quelconques, la somme

sera encore une intégrale de Téquation (i).