IV. Soient
n intégrales particulières de l'équation (i). D'après ce qu'on vient de voir, la somme
(3) J =^ Cl 7i -f- Cl .)•, -I- . . . -+- CnXn
sera une intégrale de l'équation, renfermant n constantes arbitraires. Ce sera, de plus, l'intégrale générale de cette équation si les fonctions j^oj^a, '"^yn sont telles que, pour une valeur quelconque attribuée à x, on puisse déterminer les Ji constantes C«, Co, ..., C,4 de manière à faire prendre à j^ et à ses n — i premières dérivées des valeurs arbitraires, c'est-à-dire si, pour toute valeur de x, on peut tirer des n équations
y = Cl ri + C, J, H- . . . -+- CnXny
... .y =Ci/i +c,y, -i-...+c„y„.
4l6 LlVaB IV. — CHAP. IV, § I.
des valeurs finies et déterminées des inconnues
Pour cela y il est nécessaire et suffisant que le déterminant
ne s'annule pas identiquement, quel que soit x.
ÔK
Si l'on désigne par Y j^ = -r-^ le coefficient dey)l^ dans la valeur de R, les valeurs des inconnues Ca seront données par les équations
879. S'il existait entre les intégrales particulières (a) une relation linéaire quelconque à coefficients constants, c'est-à-dire une relation identique de la forme
ai y «2, ... étant des constantes, alors une des lignes verticales de R serait formée par l'addition des produits de plusieurs autres lignes verticales, multipliées respectivement par des facteurs communs. Donc alors ce déterminant serait nul, et l'expression (3) ne serait plus l'intégrale générale de l'équation (i). Nous dirons, dans ce cas, que les intégrales particulières (2) ne sont pas distinctes entre elles.
On voit d'ailleurs aisément que, en vertu de la relation (6), l'équation (3) se réduit à
expression qui ne renferme plus, en réalité, que n — 1 constantes arbitraires, c'est-à-dire moins que n'en doit contenir l'intégrale générale.
880. On peut arriver, par la considération du déterminant R, à démontrer qu'en général la condition nécessaire et suffisante
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 4l7
pour que les intégrales particulières (2) soient distinctes est qu'il n'existe entre elles aucune relation linéaire identique, de la forme (6).
En effet, si les intégrales ne sont pas distinctes, auquel cas le déterminant R est nul, on sait qu'alors les équations
4 4 1/ yCt-l)
sont généralement compatibles entre elles pour des valeurs des inconnues ii|, U29 ••• différentes de zéro, et que, de plus, ces valeurs sont proportionnelles aux déterminants partiels de R relatifs à une ligne horizontale quelconque, à la dernière par exemple, de sorte qu'on a
Différentions maintenant chacune des équations (7), en ayant égard à celle qui la suit ; il viendra
un)
hU.jr^- H-"2JÏ" H-...+ ««j5r'
Or, si l'on différentie la valeur de R, on voit que la dérivée D^çR se réduit à
yx
Xn
et, cette quantité étant nulle, puisque R est supposé s'annuler quel que soit x, on en conclut, en vertu des proportions (8), que
H. — Cours de Cale, infinit,, II. 27
4l6 LIVBB IV. — CnAP. IV, § 1.
la seconde ligne
de Téquation (10) est nulle. En supprimant donc cette seconde ligne, les équations (9) et (10) forment alors un système identique à celui des équations (7), d'où il résulte que les inconnues ix^ u^f ..., u,^ sont proportionnelles aux inconnues 11 1, U2, ..., u„. On peut donc poser
«i ttj " * «« ^'
d'où Ton tire, en intégrant, et désignant par a^^a^y ..., an des constantes,
tf j = ai eSvf', w, r= a, <?/?rf', . . . , «„ — a« e^f'''.
En substituant ces valeurs dans la première des équations (7), et supprimant le facteur e^^^^j qui n'est pas nul, on a l'identité
(6) airi-+-«îjî-+-- .. + a»r« = o»
qui est une conséquence réciproque de l'hypotkèse R = o.
Donc l'identité (6) exprime la condition nécessaire et suflisanle pour que les intégrales particulières (2) ne soient pas distinctes entre elles.
881 . V. Si Ton connaît une intégrale particulière de l'équation (i), cette intégrale étant supposée autre que zéro, on pourra, par son moyen, ramener l'intégration de l'équation (i), ou, plus généralement, celle de l'équation
à celle d'une équation de même forme, mais d'un ordre inférieur d'une unité.
Soit, en effet, j^ une intégrale particulière quelconque, différente de zéro, de l'équation (i). Posons
