PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES

d*où Ton tire, par la formule de Leibnilz,

^('')=3.D:;ri-4---./iDr*ji

Substituant ces valeurs dans l'équation (A), elle devient

Le premier terme du premier membre de cette équation s'évanouit identiquement, puisque y^ est supposé être une intégrale de l'équation (i). Dès lors l'équation (B) ne contiendra plus Zy mais seulement ses dérivées z', z^\ ..., zS^^ \ si donc on pose z'=s, l'équation (B) se changera en une équation en s de l'ordre n — i, et de la forme

(12) y^{Dj:)sz=o, OU y^{D^)s=iX.

Donc, si l'on pose j^ =.?^< f^dx, l'équation (A) se changera en une équation de même forme, relative à la fonction s, d'un ordre inférieur d'une unité, et ayant le même second membre.

Ainsi la connaissance d'une intégrale particulière de l'équation (1) permet d'abaisser d'une unité l'ordre de cette équation, ainsi que l'ordre de l'équation complète (A), en ramenant ces équations à des équations de mêmes formes respectives, mais d'ordre inférieur.

Les coefficients de l'équation transformée sont constants lorsque ceux de l'équation proposée le sont.

Exemple. — L'équation

étant vérifiée par l'intégrale particulière ju = x^, il vient, en

J20 LIVBE IV. ~ GHAP. IV, § I.

substituant dans cette équation Texpression u = x^Jsdx^ et divisant par x^,

(6— 4'^"+"'='^*)^^* (2 — j:)x.j' = o, OU

d'où l'on tire

du .T* — Lt -4- 6 ,

s jr(2 — x)

^rzzC^.f ?.

On a maintenant

donc

j — x^Jsdx r= Cff* -4- C'.r*.

882. Il est aisé de vérifier que, si l'on prend pour s l'intégrale générale de l'équation (12), la valeur j^ =j^fsdx sera l'intégrale générale de l'équation (i). En effet, z =^fs dx -i- C sera l'intégrale générale de l'équation en z, et l'on pourra, au moyen des constantes arbitraires, déterminer à volonté, pour une valeur donnée de x,

les valeurs de z = — et de ses n — i premières dérivées, d'où l'on

conclura facilement que l'on pourra aussi déterminer à volonté j'

et ses n — i premières dérivées.

Donc, en mettant en évidence la constante d'intégration, on voit

que l'intégrale générale de l'équation (i) est de la forme

(l3) .r = C,Ji4-Ji/5^.r.

883. Si l'on connaît une seconde intégrale particulière j^ de Téquation (i), alors j, = D;r^ sera une valeur particulière de

j = D;p-^5 et, par cohséquent, on connaîtra une intégrale particulière de l'équation (12), intégrale qui sera différente de zéro si

ticulières j^j, j^2 ne satisfont pas à une relation linéaire à coeffi-

le rapport — n'est pas constant, c'est-à-dire si les intégrales par-

PROPRIÉTÉS 4SÉNÉRALBS DES ÉQUATIOKS LINÉAIRES. 421

cients constants de la forme «< j« + OL^y^ = o. On pourra donc alorS; en posant

ramener Téquation (12) à une équation de même forme et d'ordre moindre d'une unité,

(l4) ^(D;,)r = 0, ou )KD;,)^rr=X.

En substituant dans l'expression (i3) la valeur

5 = Cj JP| H- 5| Jt dXf

et ayant égard à ce que — =fsidx, cette expression prend la forme

(i5) y = (^iy\-^c^y%-\'jr\Ssxdxftdj:,

chaque signe d'intégration, dans le second membre, portant sur tout ce qui le suit, considéré comme un résultat effectué.

De même, si l'on connaît trois intégrales particulières^i,j'2»J)'a de l'équation (i), on en déduira deux intégrales particulières

de Téquation (12), lesquelles ne seront pas nulles si les rapports —-7 — ne sont pas constants. De ces deux intégrales on tirera une

intégrale particulière f , = D^ — de l'équation (i4)» ^^ ^1 ^^ sera pas nul si — n'est pas constant, c'est-à-dire si l'on n'a pas

T^x^ = a.D^ ^S d'où x^ = aj, -t- j3ji,

a et P étant des constantes, ou enfin si les trois intégrales j^i^ j2y y% 1^6 satisfont pas à une relation linéaire à coefficients, constants de la forme de la relation (6). On pourra donc alors, en posant t=:zt^fu dXf abaisser encore d'une unité l'ordre de l'équa-

422 LIVBB IV. — CBAP. IV, § I.

lion (i4). On aura alors, à cause de — =/fi dx, -- ^=fs2dx^

{i6) j = C, ji + CtXt -+- C, j^, -h Ji fsidxft^dxfu dx,

chaque signe d'intégration portant sur tout ce qui le suit.

En continuant ainsi, on voit que, si Ton connaît h intégrales particulières j^o^a, ...j^k de l'équation (i), et que ces intégrales ne satisfassent à aucune équation à coefficients constants de la forme «i j^i -h «2^2 4-. . .-4- ^kyk = o, on pourra, par leur moyen, abaisser de k unités Tordre de l'équation proposée, et l'intégrale générale se présentera sous la forme

j — Ci^i 4- C, j, 4- ... 4- CicXlc -^yxfsxdxft^dxj, . .fvdx^

M étant l'intégrale générale d'une équation linéaire sans second membre d'ordre n — Ar.

Si l'on connaît n — 1 intégrales particulières distinctes [880], on parviendra, pour^, à une valeur de la forme

y = Cin ■+• C,rî 4- ... 4- Cn-iXn-X -^xxfsxdxjt^dxf, . .Jwdx^

w étant l'intégrale générale d'une équation du premier ordre, telle que

{17) h^tv -{-/êiw' = ou =X.

Cette dernière équation peut s'intégrer immédiatement et faire connaître une n**"' intégrale particulière de l'équation (i), distincte des précédentes. Si l'on désigne, en eflet, par

-fi''

une intégrale particulière de l'équation (17) sans second membre, w = C/, w'i sera l'intégrale générale de cette même équation ; et, en représentant parj^v, l'intégrale particulière de l'équation (i),

Jn =Xi fsidxft^dxf, . .Jwxdx, on obtiendra l'intégrale générale de (i) sous la forme (3) y = Ci^i -4- C,jr,4-. . . 4- C„r«.