PB0PRIÉTÉ8 GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES
De méme^
w = Cl «^1 -4- «f'i I ^ "' ~ £ir
sera Tintégrale générale de Téquation 7io w4- A|Çv'=X, et, par suite,
sera l'intégrale générale de l'équation (A).
884. Si l'on suppose, dans cette dernière expression, toutes les constantes arbitraires nulles, on aura une intégrale particulière
de l'équation complète (A). On voit donc que l'intégrale générale de l'équation complète (A) est égale à l'intégrale générale de l'équation homogène (i), plus une intégrale particulière Y de l'équation (A).
On a ainsi ce théorème général :
Si Y est une intégrale particulière quelconque de l'équation complète (i), et sij^^^ représente l'intégrale générale de l'équation sans second membre (2), la somme
sera l'intégrale générale de l'équation (A).
C'est ce que l'on peut d'ailleurs démontrer directement.
En effet, i*^ la valeur (18) satisfait à l'équation (A), comme il est facile de s'en assurer; 2® pour a: = Xo, on peut, à l'aide des valeurs arbitraires des constantes, déterminer arbitrairement les valeurs de^ '®^ = r — Y et de ses n — i premières dérivées, et, par suite, aussi celles dej^ et de ses n — i premières dérivées.
Pour montrer une application de ce théorème, supposons que,
dans l'équation (c), le rapport — soit constant et = «. Si l'on sup*
posej^ = Y= const., l'équation se réduira à ao Y= X, d'où Y= «.
4^4 LIVRB IV. — GHAP. IV, § I.
DonC; dans ce cas, Tîntégrale générale de Téquation [x) sera
885. Si la solution j =j'i annule non-seulement rexpression (f{DJc)J^, mais encore les A* — i expressions ç'(Djp)j^,, ..., (j,(A-0(D^^^^^ alors le développement de <f{Dx) (jT»^) se réduira à
et ce développement s'annulera pour z^*^ = o, d'où
Donc, si la solution y^ satisfait aux k équations
cette solution fournira k intégrales particulières
de l'équation (i), et, par son moyen, l'ordre de l'équation différentielle pourra s'abaisser immédiatement de k unités.
886. VI. Réciproquement, on voit aisément que l'intégrale générale de l'équation (i) peut toujours se mettre sous la forme (3) d'une somme de n intégrales particulières distinctes, multipliées respectivement par des constantes arbitraires.
Il suffît, pour cela, d'admettre que toute équation linéaire sans second membre de la forme (i) est susceptible d'une solution autre que zéro, ce qui résulte de ce que nous avons démontré au n°809. D'après cette proposition, l'équation (i) admet une intégrale particulière j^j, au moyen de laquelle on peut mettre l'intégrale générale sous la forme (i3), s étant l'intégrale générale de (la). Cette dernière équation admettant une intégrale particulière St autre que zéro, il en résulte une seconde intégrale particulière j-2=Jifstdx de l'équation (i), dont l'intégrale générale prendra la forme (i5), t étant l'intégrale générale de (i4)- ^^ continuant ainsi, on finira par mettre l'intégrale générale de (i) sous la forme (3), y^y^^j "-y Jn étant des intégrales particulières de (i), toutes distinctes entre elles.
