AU MOYEN DBS INTÉGRALES DÉFINIES

912. Nous allons indiquer, dans ce paragraphe, l'application à quelques équations importantes de la méthode d'intégration due à Laplace et fondée sur l'expression des fonctions sous forme d'intégrales définies (*).

(•) Voir le travail récemment publié par M. S. Spitzer : Vorlesungen ûàer iineare Differential'Gleichungen. Vienne, i8'78.

INTëGRATION par les INTEGRALES DEFINIES. 453

Nous nous occuperons principalement de Féquation linéaire du second ordre

aoy h^j A|, £|, ^2* ^2 étant des constantes.

La méthode de Laplace consiste à chercher à vérifier cette équation par une expression de la forme

U désignant une fonction de u encore indéterminée, ainsi que les limites constantes Ui, u^ de l'intégration.

Si Ton substitue la valeur (a) dans l'équation (i), et que l'on pose, pour abréger,

l'équation deviendra [470]

(3) f *(PH-Q.r)c"'U^i/z=o.

En intégrant par parties le second terme de cette équation, elle prendra la forme

[QUc"'];;* +/e«' [PU — D„ (QU)]^£/ = o,

et cette égalité devra être identiquement vérifiée. Il suffira, pour cela, que la fonction U satisfasse à l'équation

(4) PU^/a — r/(QU) = o,

et qu'en même temps les deux constantes ii|, i/^ soient choisies de manière que, substituées à u, elles vérifient l'équation

(5) QU^"'=o.

L'équation (4) donne

m LIVRE IV. — en A Pi IV, § IV.

ce qui changera Téquation (5) en

r\fl'''

et, en résolvant cellc-cî par rapport à i/, si l'on trouve deux valeurs indépendantes de x, on les prendra pour M|, 1^2 • On aura alors

Ju, Q

913. Pour pousser plus loin les calculs, il faut d'abord obtenir

l'intégrale / jidu. Or, suivant la nature de son dénominateur, la

fraction

P ^'o -+- <7| // ->- a^ii^

Q b^ -,- h^ u -h /'jw*

pourra se mettre sous l'une des quatre formes suivantes :

(li ^ = "'

II ^z=m-h, r, H ♦

Q (« — uj u — a

(ni) =: m -{- nu H î

Vj tt — a

(IV) — — ^0 -H ^'i« -+- ^'i«'t

la première ayant lieu si Q = o a ses racines inégales, la deuxième si Q = o a ses deux racines égales, la troisième si io = o, la quatrième si Q est constant.

914. I. Considérons le premier cas. En introduisant au lieu de rt©, Ui, a^y ... les nouvelles constantes m. A, B, a, (3, l'équation- (ij deviendra

On trouve d'abord

j^duTzz mu -^ A log ; w — a) -f- B log ( « — i6 )

D'ailleurs, à cause de *

Téqualion (6) donnera, en négligeant le facteur constant b^ [877, 1], et l'équation (7) deviendra

Si maintenant A et B sont des nombres réels positifs ou des nombres complexes à partie réelle positive, c'est-à-dire de la forme p^ ± iç^, on pourra prendre

d'où

On peut développer aisément cette expression en série, en s'appuyant sur la formule (6) du n** 487, et, si Ton pose, pour abréger,

on obtiendra la série suivante, convergente pour toute valeur de x :

y __ ^a(//n-jr

915. Si A et B sont des nombres réels, entiers et positifs, on pourra obtenir dans ce cas l'intégrale sous forme finie. En effet, X étant indépendant de u, on trouve, à l'aide de l'intégration par parties,

expression qui aura un nombre fini de termes si <^{u) est une fonction rationnelle et entière. Si donc on fait

; l /«-+-. r [m-h.rf J

la valeur II d<? > fie\i«?n«ira

Noii<« allon-» maintenant faire voir qne chacane des expressîonsji i , Ti ^ati^tViit ^ parlement à rétpiatioQ 9 . En effet, en substituant four à tour ces valeurs à > dans le prefnier membre de cette équation, on obtiendra évîdemm«»nt deux valeurs de la forme

[ /w — -r /it-^x- j

les quantités entre parenthèses étant composées d*un nombre fini fie termes. La différence de ces valeurs devant satisfaire à Féqualion, on devra avoir, quel que soit jr.

fri

d'où Ton tire

^, } -«' tn-t-jT^ __